Уравнения движения материальной точки

Получим помощи принципа относительности основной закон релятивистской динамики — уравнение движения материальной точки. Согласно принципу относительности релятивистские уравнения должны быть ковариантны относительно преобразований Лоренца. Для этого необходимо, чтобы величины, входящие в эти уравнения, преобразовывались специальным образом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Для того чтобы математические выражения, с которыми придется работать в дальнейшем, имели наиболее простой вид, будем использовать следующие обозначения:

Используя эти обозначения, преобразования Лоренца (10.36) в общем виде можно записать так:

где индекс /1 принимает значения 1, 2, 3, 4, а коэффициенты преобразования Ьщ, образуют матрицу.

в которой индекс ц есть номер строки, а индекс v — номер столбца, у = 1, 2, 3, 4.

Тензором нулевого ранга, скаляром, или скалярным инвариантом называется величина значение которой в произвольной точке.

4-мерного пространства-времени не изменяется при преобразованиях координат:

Тензором первого ранга, или 4-мерным вектором называется совокупность четырех величин а^, которые преобразуются при преобразованиях Лоренца гак же, как координаты т. е. по формулам, подобным (10.50):

где величины а_р и соответствуют инерциальным системам отсчета К и К' соответственно.

Скалярными инвариантами являются величины ds и dr. Примером 4-мерного вектора, как видно из формул (10.42) преобразования дифференциалов координат и времени, могут служить величины dx^ :

В качестве параметра на мировой линии некоторой частицы т удобно использовать ее собственное время г. При этом уравнение мировой линии можно представить в виде зависимости.

Пусть есть производные этих функций.

В другой инерциальной системе отсчета К¹ уравнение мировой линии той же частицы будет представлено другими функциями.

того же аргумента г. Производные этих функций обозначим так:

Из этого равенства следует, что величины (10.54) образуют 4-мерный вектор, который называют 4-мерным вектором скорости частицы, или сокращенно 4-вектором скорости.

Так как величины и_И и и' есть функции собственного времени частицы г, а коэффициенты преобразования Лоренца не зависят от г, продифференцировав обе части равенства (10.56) по г, получим:

Из этого равенства следует, что величины.

также образуют 4-мерный вектор. Этот вектор называется 4-мерным ускорением частицы.

Запишем теперь уравнения движения частицы массы т, т. е. уравнения для функций (10.53) или (10.55). При этом будем руководствоваться следующими соображениями. Во-первых, эти уравнения должны быть ковариантны относительно преобразований Лоренца. Во-вторых, они должны напоминать ньютоновские уравнения движения в общем случае и совпадать с ними в пределе при с —* оо, т. е. в тех случаях, когда скорость частицы v существенно меньше скорости света с. Нетрудно догадаться, что уравнения, удовлетворяющие этим требованиям, должны иметь вид где — 4-мерный вектор силы, действующей на частицу. При этом величины /_м следует рассматривать как известные функции аргументов х^, и г. С учетом обозначений (10.54) и (10.58) уравнения (10.59) можно записать так:

или так:

Как видно, эти уравнения представляют собой систему из четырех дифференциальных уравнений второго порядка для функций х_ц = х_ц(т).

Преобразования Лоренца (10.50) дают возможность вывести из уравнений (10.61) уравнения для функций х' = х^(г), которые описывают движение той же частицы относительно другой инерциальной системы отсчета К'. Ковариантность уравнений движении означает, что уравнения для функций х' = х' (г) должны иметь вид.

где Обратное преобразование, разумеется, должно приводить к уравнению (10.59). Чтобы в этом убедиться, заменим в уравнениях (10.62) индекс // на I/, умножим полученные уравнения на коэффициенты и просуммируем по индексу v от 1 до 4 для каждого фиксированного значения индекса ц. Так как левая и правая части уравнений движения есть 4-мерные векторы, т. е. они преобразуются по закону (10.51), придем к уравнению (10.59). Таким образом, доказано, что полученные уравнения движения материальной точки ковариантны, как того требует принцип относительности.

При помощи обозначений (10.49) радиус-вектор частицы можно записать как Имея в виду эту формулу, нетрудно понять, что первые три компоненты 4-вектора скорости (10.54) образуют трехмерный вектор, который в силу соотношения (10.47) равен.

где При этом четвертая компонента 4-вектора скорости будет.

Но аналогии с формулой (10.63) запишем соотношение.

связывающее первые три компоненты 4-вектора силы и трехмерный вектор силы F. Соотношения (10.63) — (10.65) позволяют записать первые три уравнения движения (10.60) для /i = 1, 2, 3 в виде.

Это векторное уравнение есть искомое релятивистское уравнение движения материальной точки. Оно является обобщением второго закона Ньютона на случай, когда частица движется со скоростью близкой к скорости света. При с —? оо уравнение (10.66) переходит в уравнение.

которое описывает движение нерелятивистской частицы.

При помощи формулы (10.45) запишем равенство (10.41) так:

Разделив это равенство на dr², получим соотношение.

которое с учетом определений (10.54) можно записать в виде.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Как видим, это соотношение связывает компоненты и^ 4-вектора скорости. По этой причине четыре уравнения (10.60) не являются независимыми. Найдем соотношение, связывающее компоненты /_м 4-вектора силы. Для этого продифференцируем по г обе части равенства (10.68). Получим:

Разрешив это равенство относительно /4 и преобразовав полученное выражение при помощи формул (10.63) — (10.65), придем к.

где.

Р = Т v

есть мощность силы, действующей на частицу.

Запишем четвертое из уравнений (10.60), положив р = 4 :

Используя формулы (10.64) и (10.69), этому уравнению можно придать вид.

Как уже говорилось, уравнения (10.66) и (10.70) не являются независимыми. Так, уравнение (10.70) можно вывести из уравнения (10.66), если умножить последнее на вектор скорости v и применить известные правила дифференцирования.