Основные распределения в математической статистике

В результате освоения материала данной главы студент должен: знать

• • гамма-функцию Эйлера;
• • основные распределения и их свойства;
• • теорему Фишера и ее следствия; уметь
• • решать задачи с использованием гамма-функции;
• • находить критические точки основных распределений, соответствующих заданному уровню значимости или надежности;

владеть

• навыками работы с основными распределениями.

Гамма-функция Эйлера

В теории вероятностей мы изучали распределения случайных величин. В математической статистике используются некоторые функции от случайных величин, которые являются также случайными величинами, распределения которых нам понадобятся. Эти функции возникают при попытке рассчитать выборочные характеристики по конечной выборке.

Перед рассмотрением этих распределений обратимся к гамма-функции, которая используется в этих распределениях.

Гамма-функцией Эйлера называется функция вида.

Интеграл не берется в элементарных функциях, но сходится при а > 0. Свойства гамма-функции.

^1гШ^=Л;

2. Г (1) = 1.

3. Г (а + 1) = аГ (а).

• 4. Г (п + 1) = п!
• ? Г (п + 1) — пГ (п) = п (п — 1) Г (п -1) = п (п — 1) •… • 1 • Г (1) = п!>
• 5. При х —> оо гамма-функция может быть представлена в виде

?Доказательство основано на известном пределе.

что эквивалентно асимптотической формуле п! г х/2лп^—^. Тогда.

Воспользуемся методом погружения в непрерывность и заменим натуральную переменную п на действительную переменную х > 0. Получим формулу.

известную как формула Стирлинга. ?

Формула Стирлинга позволяет легко вычислять значения гаммафункции при больших значениях х. График гамма-функции представлен на рис. 13.1.

Рис. 13.1. График гамма-функции.

Распределение Пирсона (закон хи-квадрат)

Пусть набор независимых случайных величин %₂> %_п подчиняется стандартному нормальному распределению: ~ N (0, 1), где i = 1,.

П.

2, …, п. Введем функцию случайных величин как Y&? ^и обозначим ее через у^{2 i=1}

Распределение Пирсона (Pi_n) с п степенями свободы, или х²-распределение, — непрерывное, сосредоточенное на (0; распределение.

П

вероятностей случайной величины х² =.

i=i.

Плотность распределения случайной величины х² с п степенями свободы имеет вид.

Закон хи-квадрат (закон Пирсона) был предложен К. Пирсоном¹ в 1900 г.

Если случайные величины принадлежат нормальному распределению с математическим ожиданием — а и дисперсией D= а², т. е.

?,• ~ N (a, а²), то новые нормированные случайные величины г|, =———,.

Пирсон Карл (1857—1936) — английский статистик.

как известно, будут подчиняться стандартному нормальному распределению — r|_f— ~ ЛГ (0, 1) и, следовательно, их сумма квадратов — распределению Пирсона.

Вывод распределения вполне доступен после знакомства с распределением функций от случайных величин и знакомства с арифметическими операциями над случайными величинами и делается по следующей схеме.

• 1. Для случайной величины ^ ~ N (0,1) решается задача по нахождению плотности распределения функции этой случайной величины вида Лх=^-
• 2. Находится плотность суммы двух независимых случайных величин Г|] =^2_ИГ|2=^2
• 3. К случайной величине г|_х + ц₂ добавляется новая случайная величина rig. Разыскивается новая плотность распределения уже трех случайных величин.
• 4. Сравнивая плотности распределения случайных величин гц, % + Г|₂> Лг + Л г + Лз> можно найти коэффициенты, которые изменяются пропорционально числу слагаемых, и построить плотность распределения для п слагаемых.
• 5. Далее используется метод математической индукции. В предположении, что формула верна для п = к слагаемых, доказывается, что и при п — к +1 она будет верна. Тогда она верна для любого натурального значения п.

Свойства распределения Пирсона.

1. Математическое ожидание Му² -п.

2. Дисперсия Dy² = 2n.

ADx²_n=M (.xl)²-my},)².

Следовательно, Dy² = n (n + 2)-rc² =2n. ?

3. В силу ЦПТ при большом числе степеней свободы распределение случайной величины у² может быть приближено нормальным (асимптотически нормально):

• ?Пусть имеется набор случайных величин |₁₅ с,₂, • • ?, из стандартного нормального распределения: ~ N (0, 1). Имеем:
  • 1) случайная величина Хп представляет сумму случайных величин

Хп = Ъ? ъ 1=1.

• 2) существует конечное математическое ожидание Му}_х = п;
• 3) существует конечная дисперсия = 2п.

Значит, для существует lim —Ц==—• По ЦПТ он равен Ф (х), что.

=1 «-*» V2 п

и доказывает свойство. ?

• 4. Распределение Pi_n устойчиво относительно суммирования (замкнуто относительно свертки), т. е. yj +%т =Хк+_т-
• ?Пусть ^>1> %2> ••• независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда статистика х_к распределена как ?% +?? + —- + ?| с плотностью р.₂(х), статистика распределена как, + Й₊₂ +… + %? с плотностью р, 2 (х). Следовательно, их сумма имеет распределение

Хт

⁺^2 +— + ^f_+m ^с плотностью р.₂ (х), т. е. представляет собой стати;

У-к+т

стику Х²_к+т>

5. Функция распределения.

График плотности распределения при разных значениях п представлен на рис. 13.2. Функция распределения представляет собой интеграл, не берущийся в элементарных функциях. Для нее составлена таблица. Она может быть построена подобно таблице Лапласа, где критические точки названы квантилями, но может быть построена иначе. Как ясно из рисунка, распределение Pi_n не обладает ни четностью, ни какойлибо другой симметрией. Поэтому в таблице для каждого п (число степеней свободы) может быть указана вероятность р (названная уровнем значимости) того, что статистика Хп удовлетворяет соотношению Р (Хп ^>хкр) = РТакая форма представления удобна при проверке гипотез. Число степеней свободы в таблице ограничено в силу асимптотической нормальности распределения.

Рис. 13.2. Плотность распределения Пирсона при разных л.

На рис. 13.3 представлены графики плотности распределения Пирсона для п — 3, 20, 100 и нормального распределения с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями. Как очевидно из графиков, с ростом числа степеней свободы распределение Пирсона приближается к нормальному.

Рис. 13.3. Сравнение плотности распределений Пирсона для разных степеней свободы л = 3, 20,100 и нормального распределения Л/(л, 2л).