Особенности применения метода координат

Сразу же после рассмотрения основных понятий, связанных с введением координат на плоскости и уравнений окружности и прямой, с учащимися изучаются такие вопросы, как: пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса угла от 0^и до 180°. Это первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся (по учебнику А. В. Погорелова).

Следует сразу обратить внимание учащихся на то, что основную роль в вопросах приложений метода координат занимает рациональный (оптимальный) выбор расположения осей координат.

Если выбирать систему координат случайно, то можно легкую задачу превратить в очень трудную.

Рассмотрим теорему: «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин». Докажем ее методом координат.

Первым шагом при использовании метода координат является оптимальный выбор осей и начала координат (то есть такой, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми).

Рис. 89.

Рис. 90.

На рисунке 89 показан самый оптимальный выбор прямоугольной системы координат для решения данной задачи. Удачный выбор системы координат можно выбрать и по-другому (рис. 90 а-б).

Рис. 91.

Рис. 92.

На рис. 91 показан неоптимальный выбор прямоугольной системы координат. Здесь сначала нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически тот факт, что треугольник ЛВС имеет при вершине А прямой угол.

Если дан параллелограмм, то удобно выбирать прямоугольную систему координат, как показано на рис. 92.

Необходимы специальные упражнения, формирующие умение выбирать систему координат. Таких упражнений в учебниках почти нет. Приведем примеры.

• 1. Длина отрезка Л В равна 5 см:
  • а) выберите систему координат, в которой можно было бы наиболее просто определить координаты концов отрезка;
  • б) выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: Л (-2,5; 0), В (2,5; 0).
• 2. Длины сторон треугольника АВС равны 3, 4 и 5 см. Выберите систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника АВС.