Два типа мышления

Еще в школе на уроках геометрии люди усваивают сущность строгой логической системы: если удалось протянуть цепочку умозаключений от исходных постулатов до требуемого утверждения, то не остается никаких сомнений в его истинности (пока кто-нибудь, подобно Лобачевскому, не усомнится в самих основах). Но если цепочка вывода достаточно длинная, то, зная одни аксиомы, построить доказательство без большого перебора нельзя.

Поэтому здесь тоже нужны блоки умозаключений. Для этого решаем сначала совсем простые задачи (цепочки коротки), а каждую уже решенную запоминаем — они и становятся понятиями более высокого уровня (это то, что мы называем путем «снизу»). Наиболее важные, т. е. отражающие общие свойства всего круга задач, утверждения, именуют теоремами — их-то нужно помнить обязательно.

Теперь, столкнувшись с более трудной задачей, ее уже не придется сводить к постулатам, а нужно лишь представить как комбинацию уже известных задач и доказанных теорем (от них путь вниз уже проделан). Нахождение такой укладки отражает построение доказательства, т. е. состава и порядка умозаключений. Понятно, что если задача достаточно велика, то сразу с нею не справиться (все тот же большой перебор). Поэтому следует для начала расширить набор правильных утверждении.

Возьмемся за более простые задачи. Легко заполняем их аксиомами. Теперь, держа в уме эти блоки, можно снова вернуться к трудной задаче. Понятно, что она сводится к уже решенным.

Именно так строятся занятия по учебнику или с хорошим учителем: специально подобранный ряд все усложняющихся задач позволяет постепенно увеличивать сумму знаний ученика.

А что делать в новой, неисследованной области? Если там есть сколько-то установленных фактов, то с них все и начинается. Внимательно изучаем их строение; стараемся обнаружить скрытую закономерность, некоторый общий принцип. Выявляем сходные контуры и мотивы — определяем для себя эвристики, которые позволят резко сузить число приемлемых гипотез. Дальше отсеиваем неправдоподобные варианты. Наконец, после долгих размышлений и неудачных проб находим — эврика! — что все факты представимы как сочетания нескольких гипотез. Переживаем то редкое и надолго запоминающееся мгновение, которое называют озарением, инсайтом.

Понятно, что введение элементов-гипотез — это уже знакомый путь «сверху». Загвоздка в том, что сами эти элементы могут оказаться слишком большими, слишком далекими от обыденных представлений, чтобы сразу быть выраженными на языке общеизвестного. Часто это просто смутные ощущения, когда сам автор догадки уже уверен в ее правильности, но еще не может убедить других. Как говорил К. Гаусс: «…Я знаю свои результаты, только не знаю, как я к ним приду».

И все же, несмотря на образовавшуюся логическую пропасть, возникновение таких неясных образов — ключевой этап. Он соответствует интуитивному решению, постановке новых задач, определяющих все дальнейшее: формулировку и обоснование гипотезы, а затем — превращение ее в теорию. Каждый интуитивный образ — «замок в облаках» — должен быть закреплен (дальнейшим подразбиением) на твердой почве аксиом и теорем. Ясно, что интуиция — это не что-то мистическое, а итог движения мысли «вширь», вынашивания своего особого взгляда, упрощающего всю картину.

Итак, получаются две основные стадии создания теории: сначала угадывание языка максимально высокого уровня для описания имеющихся фактов, а затем строгое обоснование.