Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок где п = 1 • 2 • 3… п.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, О! = 1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решени е. Искомое число трехзначных чисел.

Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из б флажков различного цвета, взятых по два?

Решение. Искомое число сигналов.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний.

Примерз. Сколькими способами можно выбрать две детал и из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством.

Замечание. Выше предполагалось, что все п элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют, но другим формулам. Например, если среди п элементов есть я, элементов одного вида, п₂ элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями где и, + п₂ +… = п.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Г1 р, а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.