Взаимная корреляционная функция

Для того чтобы оценить степень зависимости сечений двух случайных функций, вводят характеристику — взаимную корреляционную функцию.

Рассмотрим две случайные функции X (t) и Y (t). При фиксированных значениях аргумента, например t = t_xnt = t₂, получим два сечения — систему двух случайных величин X (t.) и Y (t₂) с корреляционным моментом М[^(^)У^)] Таким образом, каждая пара чисел t_x и t₂ определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений t_x и t₂ соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что взаимная корреляционная функция двух случайных функций есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов t_{ и t₂; ее обозначают через R (t_v t₂). Дадим теперь определение взаимной корреляционной функции.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t) и Y (t) называют неслучайную функцию R_xy(t_v t₂) двух независимых аргументов Г, и t._r значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.

Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю.

Пример. Найти взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t) = tUи Y (t) = t²U, где U — случайная величина, причем D (U) = 3.

Решение. Найдем математические ожидания:

Найдем центрированные функции:

Найдем взаимную корреляционную функцию:

Итак, искомая взаимная корреляционная функция.