Производные по времени

Пусть в пространстве задана некоторая величина, зависящая от координат и времени, представляемая функцией /'(г, /) (это может быть, к примеру, температура воздуха), и пусть наблюдатель движется по некоторой траектории и фиксирует через определенные промежутки времени значения величины Рв том месте, где он находится. Очевидно, для него величина Р будет функцией времени:

Р- /^г(/). Как, зная функцию р (г, /), траекторию и скорость наблюдателя, найти скорость изменения величины Рс точки зрения движущегося наблюдателя, т. е. производную <3//.

В момент времени / наблюдатель находится в точке г и фиксирует значение Р (г) = /'(г, г). В момент времени / + он окажется в точке г + 6г и зафиксирует значение /'(г + с! г) = р (г + (1 г, / + (1/). Разность этих двух значений будет равна.

(по определению частных производных). Введем с помощью векторного оператора V скалярный оператор

тогда полученный результат можно представить в виде Деля это выражение на с1/, окончательно получаем

или, учитывая, что dr/d/ — скорость v наблюдателя,.

Здесь скалярный оператор Первое слагаемое в правой части (5.15) учитывает изменение F со временем в данной точке, второе — смещение наблюдателя в точку с другим значением F.

Задача 5.9. Плотность воздуха в атмосфере меняется с высотой по закону (см. задачу 5.5). Аэростат поднимается вертикально вверх со скоростью 5 м/с. С какой скоростью меняется плотность воздуха в гондоле аэростата?

Решение. Ось z направим вертикально вверх, h = z- Имеем: Формула (5.15) дает.

(Было учтено, что производные по х, у равны нулю, функция р от времени не зависит.) Знак минус соответствует тому, что плотность со временем убывает.

Задача 5.10. Скорость ветра задается векторным полем v = v (r, /). Наблюдатель на воздушном шаре движется вместе с потоком воздуха. Каково ускорение наблюдателя?

Решение. Скорость наблюдателя в любой точке и в любой момент времени равна скорости ветра в этой точке в этот момент времени, т. е. определяется функцией v (r, /). Формула (5.15) дает.

В компонентах:

и т. д.

Рассмотрим теперь другую проблему. Имеется замкнутая поверхность 5, и пусть эта поверхность движется. Скорость точек поверхности V для разных точек может быть разной, так что поверхность, вообще говоря, деформируется. В пространстве задана некоторая величина, представляемая функцией /'(г, /). В момент времени / поверхность занимает определенное положение и охватывает объем V.

Рассмотрим интеграл . Как изменится этот интеграл за малое время с1/?

Если поверхность неподвижна, интеграл изменится за счет того, что меняется функция /*:

Если функция /'не меняется со временем, но поверхность смещается, интеграл изменится за счет изменения области интегрирования. Рассмотрим положение поверхности на момент времени и Пусть 65— элемент поверхности с нормалью п и скоростью V. За время с! г элемент сместится на вектор ус1/, заметая объем у • п (15с1г (см. формулу (5.3)). В результате интеграл получит приращение.

(см. аргументацию при получении формулы (5.8)).

Для общего случая, когда меняются и функция, и поверхность, объединяя эти два результата, будем иметь.

Отсюда для скорости изменения интеграла получаем.

Задача 5.11. В условиях задачи 5.9 найти скорость изменения массы воздуха в гондоле аэростата. Для простоты будем считать, что гондола представляет собой вертикально ориентированный цилиндр высотой / и сечением 5.

Решение. Используем формулу (5.18). Роль функции /'играет плотность воздуха:. Плотность не зависит от времени. Имеем:

Гондола движется как твердое тело, и скорость всех точек поверхности одинакова и направлена вверх. Поверхностный интеграл разобьется на сумму интегралов по днищу, потолку и боковой поверхности. Пусть в момент времени / днище находится на высоте г, тогда потолок будет на высоте г. + /. Плотность воздуха на дне р (г),.

на потолке (разложение функции в окрестности точки г). На потолке у • Я = V, на дне у • Я = -у (на дне нормаль к поверхности направлена вниз), на боковой поверхности у • Я = 0, так как векторы скорости и нормали на боковой поверхности ортогональны. Таким образом, остаются лишь интегралы по днищу и крышке цилиндра. Учитывая, что во всех точках дна и крышки подынтегральная функция постоянна, получаем.

Производная отрицательна, что соответствует убыли массы. Должно быть ясно, что уменьшение массы воздуха в гондоле связано с уменьшением плотности с высотой.