Изучение координат и координатного метода на плоскости и в пространстве

Как уже отмечалось выше, изучение векторов тесно связано с изучением координат на плоскости и в пространстве, с координатным методом.

С координатами на плоскости учащиеся знакомятся еще в курсе математики 5—6-х классов, изучая функции в курсе алгебры 7—9-х классов, и данный опыт необходимо использовать при изучении координат в курсе геометрии, как и опыт работы с географическими координатами при рассмотрении различных систем координат.

Как мы уже отмечали выше, применение координат в математике имеет более длинную историю, чем применение векторов, а основные заслуги во введении координат в математику принадлежат П. Ферма и Р. Декарту.

Мотивировать использование координатного метода при решении геометрических задач и, как следствие, изучение координат можно при помощи еще одного игрового задания.

Задание 19.21.

В 11-м классе в домашнюю контрольную работу по теме «Углы. Расстояния» учителем среди прочих были включены две задачи. Формулировка первой такая: «В правильной пирамиде PABCD все ребра равны 6. Точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра CD. Вычислить длину KL, величины углов между KL и РА; KL и CD; KL и АС». Во второй задаче предлагалось выполнить аналогичные действия с кубом: «В кубе ABCDA_XB_XC_XD_X с ребром 12 даны две точки X и У такие, что DX:ХА_х = 1: 2, D_XY: YC = 1:2. Вычислите длину XY; углы между XY и A_XD; XY и AD; XY и ДС,». Ученик решил провести вычисления традиционным способом с помощью теоремы косинусов, теоремы синусов, теоремы Пифагора. Построив для решения первой задачи несколько дополнительных треугольников, ученик произвел вычисления и приступил к решению второй задачи, но никакие построения не позволили ему выйти па вычисление величины последнего угла.

Какие дополнительные построения мог выполнить ученик, решая эти задачи? Каков план вычисления требуемых элементов? Проведите некоторые вычисления по своему выбору.

Увидев решения, его отец-инженер сказал, что они крайне нерациональны и для вычислений можно было бы воспользоваться векторным или координатным методом. «Смотри, сын, — сказал он, — на ребрах куба ты можешь задать систему координат и определить координаты всех точек. Длина отрезка вычисляется элементарно, а если на прямых ты задашь векторы, то и угол между прямыми определишь, зная длины векторов, через скалярное произведение».

Попробуйте реализовать описанный выше план решения. Как вы выбрали систему координат на ребрах куба?

Всегда ли угол между векторами будет совпадать с углом между соответствующим и п ря м ы м и ?

Впрочем, есть еще один способ определения величин углов, позволяющий обойтись без координат, заданных на прямых векторов. Эти векторы нужно разложить на составляющие, и с помощью последних определить и длины векторов, и углы. Как следует выбрать составляющие, чтобы «лишние» скалярные произведения исчезли? Реализуйте это способ решения.

Как целесообразно ввести систему координат, работая с правильной пирамидой?

По каким составляющим имеет смысл раскладывать векторы в этой задаче?

Основываясь на опыте, приобретенном при решении этих задач, опишите суть векторного и координатного методов решения. Имеют ли эти методы преимущества перед традиционными?

К началу изучения в курсе геометрии координатного метода ученики знакомы с прямоугольной системой координат, знают уравнения некоторых фигур (окружности, прямой, параболы, гиперболы), этот опыт они получили при решении систем уравнений графическим методом. При изучении теоремы Пифагора на плоскости и в пространстве появляются и формулы расстояния между точками плоскости, точками пространства, поэтому существенно новыми вопросами при изучении темы можно считать уравнения некоторых фигур, применение координат к решению геометрических задач, знакомство с различными системами координат.

Уравнения известных и новых фигур могут быть получены школьниками самостоятельно в процессе выполнения нижеприведенных заданий.

Задание 19.22.

Вспомните определение сферы и шара. Пусть в пространстве дана точка О — центр сферы — с координатами (х₀ у₀ z₀) и точка М, принадлежащая сфере, с координатами (х_м у_м z_M). Какое уравнение сферы вы можете составить на основе ее определения? Какое алгебраическое выражение будет определять шар? Решите аналогичную задачу для окружности и круга.

Знаете ли вы, частными случаями каких геометрических фигур являются сфера и окружность?

Задание 19.23.

Каково геометрическое место точек пространства, одинаково удаленных от концов некоторого отрезка. Можете ли вы, используя эту информацию, составить уравнение, определяющее эту фигуру?

Как изменится ваш ответ, если вместо пространства действие будет происходить на плоскости?

Если вы правильно ответили на вопросы задачи, то смогли составить уравнения плоскости в пространстве и уравнение прямой на плоскости.

Задание 19.24.

Одна ученица очень хотела получить хорошую отметку за выполнение предыдущего задания. Она помнила, что соответствующей фигурой в пространстве будет плоскость, а в плоскости — прямая. В справочнике по математике она нашла уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = О, где А, В, С, D — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Но как получается такое уравнение? Об этом она решила спросить свою старшую сестру-студентку. «Все очень просто, — ответила та, — в аналитической геометрии это делают так. Тебе известны координаты концов отрезка A (a_t; а/, а₃) п В (6,; Ь.,; Ь_л). Пусть принадлежащая плоскости точка М имеет координаты (х; у; z). Ты знаешь, что AM = ВМ. Примени формулу расстояния между точками, преобразуй соответствующее выражение, и ты получишь уравнение плоскости».

Помогите ученице выполнить эту работу. Составьте аналогичным образом уравнение прямой на плоскости.

Какие еще уравнения плоскостей и прямых вы сумели найти в справочниках?

Какие задачи решает аналитическая геометрия?

Задание 19.25.

Возможно, вы читали фантастический роман А. II. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина». Что такое гиперболоид? Какое отношение эта фигура имеет к сюжету романа?

А что называется параболоидом, эллипсоидом? Постарайтесь найти в справочниках по математике уравнения этих фигур. Какие еще поверхности второго порядка описываются в учебниках или справочниках? Какие фигуры могут быть получены при пересечении поверхностей второго порядка плоскостями?

Сделайте рисунки поверхностей и их сечений.

Задание 19.26.

В учебниках геометрии начала XX в. (у Л. Р. Кулишера, С. И. Шохор-Троцкого) ученикам предлагалась следующая практическая работа. В лист картона втыкались две булавки, к ним концами прикреплялась нитка длины, большей расстояния между булавками. Оттягивая острием карандаша нитку, нужно было начертить замкнутую кривую. Авторы писали, что в результате получится эллипс. Какое геометрическое определение эллипса позволяет сформулировать предложенное в учебниках построение? Какое уравнение эллипса вы нашли в справочниках? Какие элементы эллипса вам известны? Какими свойствами обладает данная фигура? Где вы встречались с изображением эллипса?

Эллипс является одним из видов конических сечений. О каких еще конических сечениях вы знаете? Попробуйте сформулировать определения фигур и найти их уравнения. Какие свойства этих кривых второго порядка стали вам известны? Встречались ли вы ранее с данными фигурами?

Работа с приведенными заданиями для самостоятельной деятельности обычно проходит до изучения соответствующего вопроса на уроке (в качестве домашнего задания). На уроке подводятся итоги выполнения заданий и делаются теоретические выводы. Часть небольших заданий ученики могут выполнять на уроке. Задания предназначены как для индивидуальной работы, так для выполнения группами учеников.