Алгебраические методы в школьном курсе математики

Алгебраический метод будем трактовать как метод, заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования.

Будем рассматривать следующие алгебраические методы: метод тождественных преобразований; метод уравнений и неравенств; функциональный метод; векторный метод; координатный метод; метод математической индукции.

Рассмотрим некоторые методы более подробно.

Метод уравнений и неравенств — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. Это метод, в котором наиболее выпукло отражены черты математического моделирования, четко выражены его этапы. Уравнения, неравенства и их системы являются моделями многих явлений и процессов, поэтому решение многих задач, в том числе и практических, во многих случаях сводится к решению уравнений, неравенств и их систем.

Глобальными целями изучения метода уравнений и неравенств являются познание явлений и процессов действительности и получение способа решения многих практических и научных задач.

Среди учебных целей обучения методу уравнений и неравенств наиболее важная — формирование у учащихся умения строить математические модели реальных ситуаций.

Изучение метода уравнений и неравенств позволяет систематизировать знания и умения учащихся на основе установления межпредметных и внутрипредметных связей. Кроме того, создаются условия для обобщения и систематизации знаний, связанных с рядом тем курсов алгебры и геометрии (равносильность уравнений и неравенств, способы и приемы решения уравнений, неравенств и их систем, задание с помощью уравнения, неравенства заданного множества и т. д.).

Основная идея метода уравнений и неравенств заключается в следующем:

• • установление основных связей и зависимостей между элементами, характеризующими данное явление или процесс, — построение вербальной модели процесса или явления;
• • перевод вербальной модели на язык математики, т. е. запись выявленных связей или зависимостей между характеристиками явления в виде уравнений, неравенств или их систем или совокупностей, — построение математической модели;
• • решение задачи внутри математической модели — решение уравнения, неравенства, системы или их совокупности одним из способов (аналитическим или графическим);
• • интерпретация полученного результата — перевод полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача, и установление соответствия полученного результата исходному процессу или явлению.

Перечислим деятельностные компоненты метода уравнений и неравенств:

• • выбор и обозначение основных неизвестных;
• • введение обозначений для других неизвестных с учетом связей и зависимостей, зафиксированных в вербальной модели, и введенных обозначений основных неизвестных;
• • составление математической модели (уравнения, неравенства, их системы или совокупности);
• • решение полученной модели;
• • исследование результата (полученного решения уравнения, неравенства или их конструкции) в соответствии с требованием поставленной задачи.

Содержание гносеологических компонентов метода уравнения и неравенств:

• • знание основных зависимостей между величинами, которые присутствуют в описании явления, процесса, и способов их математического выражения;
• • результат исследования явления или процесса, который характеризует одну или несколько величин, находящихся в определенной зависимости, следствия из этого результата;
• • типы задач, выделяемые, но признаку «тин решающей модели»: задачи на составление уравнения, задачи на составление неравенств, задачи на составление систем уравнений, задачи на составление систем неравенств, задачи на составление систем уравнений и неравенств; каждый из выделенных типов может быт разделен на группы в соответствии с видом решающей модели (линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения или неравенства и т. д.);
• • особенности использования метода в зависимости от сферы его применения, связанные с необходимостью рационального вида решающей модели предложенной задачи, проявляются в действиях по применению метода уравнений и неравенств: это и рациональный выбор неизвестного, и особенности построения решающей модели, и особенности решения отдельных видов уравнений, неравенств, их систем, в частности применение аналитического или графического способов решения, и особенности интерпретации полученного результата в соответствии с видом модели и с требованием решаемой задачи.

Среди всех задач, решаемых методом уравнений и неравенств, особо выделяются задачи на оптимизацию. Решение этих задач связано с получением уравнения, задающего некоторую функцию, с последующим ее исследованием.

Рассмотрим два примера рационального выбора неизвестной при решении задачи на оптимизацию.

Задание 23.1.

Рис. 23.1.

Какой из прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу с, имеет наибольшую площадь?

Как известно, при решении таких задач первое, что нужно сделать, — это «перевести» ее на язык функций. А для этого надо выбрать удобную переменную, через которую и выразить интересующую нас функцию. От выбора этой независимой переменной зависит, насколько сложной получится функция, которую затем придется дифференцировать.

При решении данной конкретной задачи можно выбрать не одну переменную.

• 1. В первом случае выберем в качестве независимой переменной один из катетов, а в качестве формулы площади треугольника — 5 = = 0, 5аЬ, где а и b — катеты (см. рис. 23.1). Тогда в результате выражения мы получим функцию 5(я) = 0,5я>/с² -я². То есть нам придется находить производную функции, представляющей собой произведение, одним из множителей которого является сложная иррациональная функция. Задачу можно упростить, если внести под корень и исследовать подкоренную функцию 51 (я) = я²с² — я, которая принимает наибольшее значение в тех же точках, что и функция площади.
• 2. Теперь рассмотрим в качестве независимой переменной один из острых углов данного прямоугольного треугольника, а в качестве формулы площади треугольника — 5 = 0,56csina, где b — катет, с — данная гипотенуза, а a — угол между ними. Преобразованием получим функ-
• 1

п

цию 5(a) = 0,25< a < -. Эта функция значительно проще для дифференцирования. Здесь достаточно знать производную синуса линейной функции.

Можно говорить о том, что для данной задачи более рациональным является выбор в качестве переменной одного из острых углов, так как это упрощает преобразования, которые нужно выполнить в процессе решения.

В более сложных задачах выбор возможных независимых переменных более широк.

Задание 23.2.

Рис. 232.

В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD, основание которой — диаметр окружности. Найдите длину боковой стороны, при которой площадь трапеции — наибольшая.

При решении данной задачи возможно пять способов выбора независимой переменной.

1. В качестве независимой переменной можно выбрать величину боковой стороны АВ (рис. 23.2). Тогда функция площади будет иметь вид:

В этом случае достаточно исследовать подкоренную функцию.

2. Можно за независимую переменную принять величину высоты ВН. Тогда для площади мы получим функцию, которая будет сложнее для исследования:

3. Если выбрать в качестве независимой переменной величину DH, то получившаяся функция будет проще для исследования, чем в первых двух случаях: ^[1][2]

Таким образом, удачно выбрав переменную, можно упростить дальнейшее решение задачи.

Наиболее ярко особенности использования метода уравнений и неравенств проявляются в процессе решения задач геометрического, физического и т. п. содержания, так как часто выбор типа решающей модели бывает связан с предварительным установлением и использованием геометрических, физических и т. п. свойств рассматриваемых объектов или явлений.

Чтобы установить возможности для формирования метода уравнений и неравенств в курсе математики средней школы, нужно, во-первых, выделить те знания и умения, которые являются базовыми по отношению к деятельностным и гносеологическим компонентам метода, во-вторых, определить место и содержание материала, связанного с методом, в школьных учебниках математики, в-третьих, установить возможности этого материала с точки зрения формирования отдельных компонентов метода.

Для успешного применения метода уравнения и неравенств учащимся необходимо владеть следующими знаниями и умениями:

• • знания об уравнениях, неравенствах, их системах, совокупностях: понятия (уравнения, неравенства и т. п.; корня, решения уравнения, неравенства и т. п.; равносильности уравнений, неравенств и т. п.; графика уравнения, неравенства); свойства числовых уравнения и неравенств; виды уравнений, неравенств и т. д.; способы решения уравнений, неравенств и т. д.;
• • знания зависимостей между основными величинами, свойств геометрических и других объектов, изучаемых в курсе математики средней школы, способов выражения этих зависимостей;
• • умения, связанные с решением отдельных типов уравнений, неравенств и т. д.: получение уравнения, неравенства и т. д., равносильного данному с помощью основных теорем равносильности; выбор рационального для каждого конкретного случая способа решения; построение множества точек по его аналитическому заданию; описание уравнением, неравенством и т. п. заданного множества и др.;
• • умение осуществлять перевод задачи с языка вербальной модели на язык математической модели;
• • умение осуществлять интерпретацию результата решения математической модели в соответствии с требованием исходной задачи.

Реализация возможностей усвоения учащимися метода уравнений и неравенств связана с решением двух задач.

Первая заключается в том, чтобы добиться усвоения учащимися сути метода и овладения действиями по его применению. Вторая задача состоит в обучении применению метода для решения различных видов задач.

Для решения выделенных задач целесообразно выделение в процессе формирования метода уравнений и неравенств следующих этапов.

• 1. Этап принятия учащимися учебной задачи. Основная задача этого этапа — демонстрация значения метода уравнений и неравенств и обозначение цели последующей деятельности — усвоение специального метода решения математических и практических задач. Основное средство, используемое учителем на данном этапе, — задачи, при решении которых наиболее ярко демонстрируется эффективность использования данного метода.
• 2. Этап усвоения школьниками сути вводимого метода. Деятельность учащихся на этом этапе предполагает выделение действий, определяющих операционный состав метода уравнений и неравенств, установление их последовательности, определение условий успешного применения данного метода.
• 3. Этап формирования компонентов метода уравнений и неравенств. Необходимо обратить внимание на формирование таких действий, как выбор и обозначение основных неизвестных, а также интерпретация полученного результата.
• 4. Этап обучения учащихся применению метода для решения задач определенного вида. Целью этого этапа является формирование у учащихся умений, связанных с применением метода в целом, а не отдельных его компонентов (при этом вид задачи и вид решающей модели определен однозначно).
• 5. Этап обучения применению метода для решения широкого круга математических задач. Целью этого этапа является формирование у учащихся умения осуществлять рациональный выбор модели для решения предложенной задачи.

Выделение указанных методов позволяет утверждать, что формирование деятельностных компонентов метода в большей мере осуществляется на первых четырех этапах, а гносеологических компонентов — на четвертом и пятом этапах.

Координатный метод

Основными целями изучения координатного метода в школе являются следующие:

• • показать, что координатный метод имеет свой язык, свои приемы, используя которые можно выражать свойства геометрических фигур на аналитическом языке в виде уравнений и неравенств;
• • сформировать понятийный аппарат координатного метода: координатная прямая, координатная плоскость, координаты точки, уравнение прямой, окружности, параболы, гиперболы, координаты середины отрезка;
• • сформировать конкретные приемы использования координатного метода при изучении содержания курсов алгебры и геометрии.

Выделим понятийный аппарат для координатного метода в прямоугольной системе координат:

• • абсцисса, ордината, аппликата;
• • координаты (точки) — числа, взятые в определенном порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, в пространстве;
• • прямая, на которой указан способ изображения действительных чисел (координатная прямая);
• • координатная плоскость — плоскость, на которой рассматриваются два семейства несамопересекающихся линий таких, что каждая линия одного семейства пересекается с каждой линией другого семейства только в одной точке; начальные линии выбраны х = О и у = 0 (их назвали осями координат);
• • координатный метод — способ определения положения точки (на прямой, на плоскости, в пространстве) с помощью чисел; используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, — искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул (уравнения и их систем).

Основные знания и учебные задачи, формирующие координатный метод на плоскости:

• • знать запись точки в координатной форме и по данной координатной форме строить ее на координатной плоскости;
• • знать задание прямой в координатной форме и по данной координатной форме строить прямую на координатной плоскости.

Любая прямая на плоскости имеет уравнение вида: ах + by + с = 0.

Уравнение окружности с центром в точке С (а, Ь) и радиусом г на плоскости имеет вид: (х — а)² + (у — Ь)² = г².

Заметим, что уравнение будет уравнением линии, если ему удовлетворяют координаты (х, у) любой точки этой линии, и наоборот — любая пара чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению линии, представляет собой координаты точки, которая на ней лежит.

В школьном курсе геометрии еще используются следующие понятия аналитической геометрии:

• • расстояние между точками, заданными своими координатами;
• • деление отрезка в данном отношении (частный случай — нахождение координат середины отрезка).

Использование координатного метода предполагает: 1) составление уравнения линии; 2) нахождение расстояния между точками, нахождение координат точки на отрезке (середины отрезка или точки, делящей отрезок в данном отношении).

Рассмотрим этапы использования координатного метода при решении геометрических задач.

• 1. Размещение фигур на координатной плоскости (в пространстве) так, чтобы можно было выразить в координатной форме отрезки фигуры (как данные, так и искомые).
• 2. Запись в координатной форме данных и искомых точек (как правило, вершин данной фигуры, точек пересечения отрезков или линий).
• 3. Запись уравнений линий, расстояний между точками, координат точек, делящих отрезки в данном отношении.
• 4. Выполнение преобразований, полученных в координатной форме выражений.
• 5. Интерпретация полученных результатов на языке, на котором была сформулирована задача.

Заметим, что при решении задачи используются этапы математического моделирования: перевод на другой язык (координатный); работа над выражением в координатной форме (решающей моделью); перевод на геометрический язык; интерпретация результатов на геометрическом языке.

Выделим знания и умения, необходимые для формирования координатного метода:

• • понимание двух основных задач метода (построение точки по ее координатам и нахождение координат заданной точки);
• • знание формул наиболее часто встречающихся в школе фигур (прямой и окружности, в пространстве-плоскости) и приемов их построения;
• • знание формулы расстояния между двумя точками и умение найти это расстояние, знание формулы координат середины отрезка и умение их находить;
• • умение выполнять перевод с аналитического языка на графический, и наоборот.

В формировании координатного метода в школе можно выделить несколько этапов.

• 1. Усвоение основного понятийного аппарата.
• 2.

  Введение

  на основе этого понятийного аппарата уравнений линий и графиков функций.

• 3. Раскрытие основных этапов применения метода в курсах алгебры и геометрии.
• 4. Использование координатного метода для решения различных математических задач.

Векторный метод

Вектор — одно из фундаментальных понятий в современной математике. Векторы широко используются при решении задач математики и физики.

Цели изучения векторного метода в средней школе:

• • дать эффективный метод решения различных геометрических задач и доказательства теорем;
• • показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний;
• • использовать векторный метод при решении задач.

Перечислим основные компоненты векторного метода при решении задач.

• 1. Перевод условия задачи на язык векторов, в том числе: введение и рассмотрение векторов; выбор системы координат (если это необходимо); выбор базисных векторов; разложение всех введенных векторов по базисным.
• 2. Составление векторного равенства или системы векторных равенств.
• 3. Упрощение векторных равенств.
• 4. Замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решение.
• 5. Объяснение геометрического смысла полученного решения.

Выделим понятийный аппарат и умения, которыми должен овладеть учащийся, чтобы научиться решать задачи векторным методом:

• • основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, модуль (длина) вектора, равные векторы, противоположные векторы, нулевой вектор, координаты вектора, коллинеарные и неколлинеарные векторы, компланарные и некомпланарные векторы, координатные векторы, скалярное произведение векторов, угол между векторами;
• • основные действия с векторами в векторной и координатной формах: сложение двух векторов «правилом треугольника» и «правилом параллелограмма», сложение нескольких векторов «правилом многоугольника», вычитание векторов, умножение вектора на число, разложение вектора по неколлинеарным векторам на плоскости, разложение вектора по некомпланарным векторам в пространстве, выражение длины вектора, выражение угла между векторами;
• • действия по овладению компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи, перевод условия задачи на язык векторов, т. е. составление векторных равенств по условию задачи, выбор базисных векторов и разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным векторам, упрощение системы векторных равенств, замена векторных равенств алгебраическими.

Опишем основные этапы формирования векторного метода в школе.

• 1. Подготовительный этап. Его цель — овладение перечисленными основными понятиями и перечисленными действиями.
• 2. Мотивационный этап. Его цель — демонстрация преимуществ векторного метода, необходимости овладения этим методом. Целесообразно на этом этапе использовать задачи, решение которых наиболее эффективно именно векторным методом.

Например, на этом этапе может быть рассмотрена следующая задача.

Задание 23.3.

На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты точки К и М так, что 3/1/С = 2ВМ = ЛВ. Найдите косинус угла между прямыми DK и AM.

Пытаясь решить задачу известным методом (рис. 23.3), учащиеся сталкиваются с определенными трудностями. Решение получается громоздким и непосильным для большинства учащихся.

Решение векторным методом, которое демонстрирует учитель (рис. 23.4), показывает учащимся преимущество данного метода.

Рис. 23.3 Рис. 23.4

1. Введем систему координат так, как показано на рис. 23.4. Рассмотрим векторы DK и AM.

Пусть длина стороны квадрата равна 6.

Тогда во введенной системе координат координаты векторов М = {2;6}, ЛМ = {6;-3}.

2. Используем формулу скалярного произведения векторов и запишем его для векторов DK и AM:

3. Выразим из векторного равенства искомый косинус:

4. Перепишем полученное равенство, используя координаты векторов:

5. Угол между векторами DK и AM тупой, так как косинус угла получился отрицательным.

Угол между прямыми не может быть тупым. Поэтому косинус угла 1.

между прямыми равен —=.

5V2.

То, что 2^к > 2k + 1, нам известно. А то, что 2^к > 2 при k е N, — очевидно. Поэтому требуемое неравенство доказано. Здесь мы использовали уже другой прием, а именно — сложение неравенств:

В нашем случае:

• [1] За независимую переменную можно принять величину углаDAB, тогда функция примет вид:
• [2] Наконец, в качестве независимой переменной можно рассмотреть величину угла АОВ. В этом случае функция получится проще, чемв предыдущем: