Волновые функции линейного гармонического осциллятора

Каждому значению энергии осциллятора (4.99), являющемуся собственным значением оператора энергии — гамильтониана, соответствует нормированная волновая функция — собственная волновая функция оператора энергии. Чтобы найти собственные функции гамильтониана, необходимо значение соответствующее какому-либо значению гг, подставить в уравнение (4.93), что даст уравнение для полиномов у_п(0 степени гг, через которые должна выражаться волновая функция t/>_n(?):

Оказалось, что соответствующие полиномы были давно известны в математике¹⁰⁵. Называются они полиномами Эрмита и обозначаются в его честь как Н_п(?). Полиномы Эрмита определяются при помощи формулы ГоОрига

Произведя дифференцирование в формуле (4.101), можно найти явный вид полинома любой степени п. Так, первые четыре полинома Эрмита имеют следующий вид:

Полиномы Эрмита разного порядка связывает рекуррентное соотношение, позволяющая строить полином любого порядка п по двум предшествующим. Действительно, преобразуем выражение для полинома tf_n+i (0^:

где штрих обозначает производную по ?. Произведя дифференцирование по знаком п-ой производной, получим:

Воспользовавшись формулой Лейбница (известной с 1G951Х>да) для 71-ой производной произведения функций fg

положим f = ?, у = e~S и учтем, что все производные функции ?, начиная со второй, тождественно равны нулю. Тогда для полинома Эрмита Я_п+j (?) получим:

Их определение в 1810 году дал Лаплас, в 1859 году достаточно подробное о них исследование дал русский математик П. Л. Чебышев, а названы они в честь Ш. Эрмита, опубликовавшего свои результаты в 1861 году.

или.

Последняя формула и есть рекуррентное соотношение, дающее возможность строить полиномы произвольно высоких порядков, не прибегая к утомительному дифференцированию.

Как следствие рекуррентного соотношения (4.102) можно вывести другое важное соотношение, позволяющее выразить первую производную полинома Эрмита п-ой степени #',(?) через полином Эрмита Н_п-1(?) — Действительно, имеем.

Подстановка в последнее выражение tf_n+i (?) из рекуррентного соотношения (4.102) дает.

Теперь уже не представляет труда доказать, что частным решением уравнения (4.100) при произвольном неотрицательном целом п как раз и является полином Эрмита //"(?). Исключая //_n_i (?) из соотношений (4.102) и (4.103), получаем.

Дифференцируя последнее равенство еще раз и заменяя Н'_п+1(?) с помощью (4.103), окончательно имеем.

что и требоваюсь доказать.

Следовательно, пространственная часть собственных волновых функций гамильтониана в соответствии с соотношениями (4.92) и (4.88) должна иметь вид.

где с_п — нормировочные множители, поскольку волновые функции локализованной частицы должны удовлетворять условию.

Вычисление [с точностью до фазового множителя ехр (г<5_п), не меняющего квадрат модуля функции] нормировочных коэффициентов Сц не представляет труда. Действительно, уравнение относительно нормировочных множителей с_п имеет вид.

Преобразуем интеграл в правой части последнего уравнения, подставив в него вместо одного из двух перемножаемых полиномов Эрмита Н_п(?) выражение (4.101):

В полученном интеграле произведем интегрирование по частям:

где было учтено очевидное обращение в нуль внеинтегрального члена.

Выражая в последнем интеграле Н'_п(?) с помощью (4.103) через полином Эрмита i (?), а (п — 1)-ю производную также выражая через полином Эрмита i/_n_i (0 ^с помощью формулы Родрига (4.101), получаем рекуррентное соотношение.

Последовательное применение последнего рекуррентного соотношения, как нетрудно убедиться, дает.

С учетом того, что Н (?) = 2?, интеграл в правой части последнего равенства сводится к табличному и равен^[1]

так что окончательно получаем:

причем выполнение последнего равенства при п = 0 и п = 1 проверяется непосредственно.

Таким образом, с помощью соотношения (4.10G) коэффициенты с_п определяются без труда, так что собственные нормированные волновые функции гамильтониана линейного гармонического осциллятора с точностью до фазового множителя для любого целого п ^ 0 принимают вид.

где индекс п определяет собственное значение гамильтониана (то есть энергию линейного гармонического осциллятора) с помощью формулы (4.99).

Полная же волновая функция Ф_п(аг, t) линейного гармонического осциллятора, находящегося в состоянии с определенной энергией ?_n = (n + l/2)hu), с учетом выражения (4.78), принимает вид

где масштаб длины I определяется соотношением (4.87).

Собственные функции гамильтониана (4.107) обладают двумя замечательными свойствами. Счетное множество этих функций ортпонормированно и полно. Первое означает, что эти функции ортогональны и нормировании, то есть ортонормировании:

Впрочем, свойство ортогональности характерно для собственных функций любого эрмитового оператора F с дискретным спектром. Действительно, пусть f_n и /_т — два любых (но разных) собственных значения оператора, a ф_п и ф_т — соответствующие собственные функции. Тогда имеем.

Подставим теперь в определение сопряженного оператора (4.65) вместо функции Ф функцию ф_п, а вместо функции Ф — функцию ф_т, а также учтем, что для эрмитова оператора F = F⁺. В итоге получим тождество.

Учтя, что функции ф_п и ф_т — собственные, последнее тождество преобразуем к виду.

Поскольку в силу определения скалярного произведения функций (4.50) имеем, очевидно, (ф_т,'Фп)* = (ФгиФт), а собственные значения эрмитова оператора вещественны, то из равенства (4.111) следует, что (f_n — f_т)(Фп, Фт) = 0. Так как по условию fn ф }т> ^{Т (}> утверждение об ортогональности собственных функций операторов с дискретным спектром доказано¹⁰'.

Таким образом, собственные функции гамильтониана (4.107) действительно удовлетворяют соотношению (4.109).

Свойство полноты собственных функций оператора со счетным дискретным спектром означает, что в ряд по этим функциям можно разложить любую не слишком быстро растущую на бесконечности кусочно-гладкую функцию^[2][3]. Другими словами, математика гарантирует, что соответствующий ряд действительно сходится к разлагаемой функции в точке непрерывности последней, а свойство ортонормированности собственных функций дает простой алгоритм для вычисления коэффициентов разложения. Пусть, например, в ряд по функциям (4.107) необходимо разложить функцию Ф (:г,?):

Смысл разложения таков: для каждого момента времени t функция Ф(хЛ) рассматривается как функция только координаты ж, которая и раскладывается в ряд по функциям гр_п(х). Ясно, что наборы коэффициентов с_п для разных моментов времени будут, вообще говоря, разными. Иными словами, коэффициенты с_п в последнем разложении являются функциями времени t.

Вычислить эти коэффициенты помогает свойство ортонормированности функций ф_п(х). Домножив равенство (4.112) на функцию ф*_п и взяв интеграл по всей вещественной оси, получим.

где учтено соотношение ортонормированности (4.109).

Как уже отмечалось выше, измерение энергии гармонического осциллятора, находящегося в одном из квазистациоиарных состояний Ф_п(х, t) из набора (4.108), с вероятностью единица должно дать значение энергии ?_п. Однако решения временного уравнения Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора.

описывают не только квазистационарные состояния. С математической точки зрения любая линейная комбинация (с постоянными коэффициентами) волновых функций (4.108) является решением линейного уравнения Шрёдингера (4.114).

Более того, в волновой механике предполагается, что любое квадратично интегрируемое решение временного уравнения Шредингера (4−114) является возможной волновой функцией, описывающей физически реализуемое состояние системы.

Часто последнее утверждение формулируется в виде гак называемого принципа суперпозиции состояний¹⁰^, формулировка которого сводится к утверждению о том, что если система может описываться какими-либо волновыми функциями Фд-(гг, t) (являющимися, разумеется, допустимыми решениями временного уравнения Шрёдингера), то система может описываться и произвольной линейной комбинацией волновых функций Ф&:

где Ск — произвольные комплексные числа, а суммирование по к распространяется на конечное или бесконечное число членов (лишь бы в последнем случае ряд сходился и был бы квадратично и нтегрируем ы м).

Тогда возникает закономерный вопрос: какая энергия будет обнаружена у микрообъекта, волновая функция которого описывается каким-либо допустимым решением Ф (я, t) временного уравнения Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора?

Выше уже было указано, что измерение энергии микрообъекта может дать только одно из собственных значений гамильтониана ?_п. При этом, если осциллятор не находится в одном из квазистационарных состояний (когда с вероятностью единица будет обнаруживаться одно из собственных значений гамильтониана), результат единственного измерения будет непредсказуем (из-за недетерминированности поведения микрообъектов), а результаты серии измерений определятся вероятностями обнаружения того или иного из собственных значений гамильтониана, которые и должны вычисляться в рамках волновой механики.

Подсказку, помогающую найти вероятности обнаружения того или иного значения энергии при проведении серии измерений, дает тождество, которому удовлетворяют коэффициенты разложения (4.112) допустимой волновой функции в ряд по собственным функциям гамильтониана. Чтобы получить тождество, умножим разложение (4.112) на комплексно сопряженное, а затем ^109[4]

возьмем интеграл, но всей действительной оси:

Поскольку волновая функция Ф (ж, t) предполагается нормированной, интеграл в левой части последнего соотношения равен единице, а справа в силу ортогональности собственных функций гамильтониана все интегралы при п ф т обращаются в нуль, поэтому вместо двойной остается только однократная сумма.

В итоге для любого допустимого решения временного уравнения Шрёдингера в любой момент времени имеем:

где c_n(t) — коэффициенты разложения волновой функции в ряд (4.112).

Заметим, что вероятности w_n(t) обнаружения у микрообъекта энергии Е_п, должны удовлетворять нормировочному условию.

Сравнение тождеств (4.11C) и (4.117) позволяет догадаться, что вероятность w_n(t) обнаружения энергии Е_п у микрообъекта должна быть равна квадрату модуля соответствующего коэффициента разложения волновой функции в ряд по собственным функ I щ я м гам и л ьтон иана:

Итак, если разложить любое допустимое решение Ф (а, t) оремепндго уравнения Шредингера о ряд по собственным функциям гамильтониана, то квадраты модулей коэффициентов разложения |сц (?)|² дадут в момент времени t вероятности регистрации значения энергии, равного собственному значению оператора энергии Е_п.

Алгоритм (4.118), полученный для вычисления вероятности обнаружения того или иного значения энергии, распространяется в квантовой механике и на вычисление вероятностей обнаружения для других наблюдаемых:

если микрообъект описывается волновой функцией Ф (а, (), являющейся кваО]кшшчно интегрируемым решением временного у]К1внения Шрсдипгера, то разложение (функции Ф (;г, /) в ряд по

У-Ч.

собственным фгункциям onejxmiojxi F, соответствующего наблюдаемой f, дает вероятности w_n(t) обнаружения значения }_п наблюдаемой, равные квад}хчпам модуля коэффициентов изложения волновой функции по собственным функциям onejximojxi F.

Правило для вычисления вероятностей обнаружения того или иного значения какой-либо наблюдаемой уместно в данном месте сопроводить серьезным комментарием.

Как уже отмечалось выше, нерелятивистская квантовая механика — феноменологическая теория, не учитывающая явным образом дискретности электромагнитного излучения. Следствием этого является неучет спонтанной релаксации в рамках собственно нерелятивистской квантовой механики, то есть неполнота стандартного временного уравнения Шрёдиигера^[5].

Результатом иеучета спонтанной релаксации является предсказание нерелятивистской квантовой механикой того, что линейный гармонический осциллятор, находящийся в состоянии, допустим, Ф1 (о, описываемом формулой (4.108), будет нахо диться в гаком состоянии неопределенно долго, а вероятность обнаружения у линейного гармонического осциллятора в этом состоянии энергии ? 1 от времени не зависит, будучи тождественно равна единице.

Отсюда следует неправильный вывод, что в допустимом состоянии Фi (x, t) линейный гармонический осциллятор может находиться неопределенно долго. А что же на самом деле произойдет с линейным гармоническим осциллятором, находящимся в состоянии Ф1(.т, t), то есть на нервом возбужденном уровне? А вот что: в соответствии со вторым законом Бора^[6], через конечное время (порядка l/Ai^o, где Ai_"o — коэффициент Эйнштейна для спонтанной релаксации с первого уровня на нулевой), испустив фотон с энергией ft со, осциллятор перейдет в основное состояние Фо (®"0;

Неверные выводы без учета спонтанной релаксации получатся и в случае рассмотрения линейной комбинации квазистационарных состояний тина.

когда для любого момента времени с вероятностью w = 0.5 у осциллятора может быть обнаружена энергия ?, а с вероятностью Wo = 0.5 — энергия? q.

Без учета спонтанной релаксации волновая механика предсказывает, что и последнее состояние может существовать неопределенно долго, что неверно.

Если каким-либо способом «приготовить» в момент времени t = 0 начальное состояние осциллятора.

го линейная комбинация (4.119) будет описывать неопределенно долго последующую временную эволюцию состояния (4.120), так как (4.119) является решением временного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющего начальному условию (4.120).

На самом же деле и в данном случае через конечное время (того же порядка /А^о) осциллятор окажется в основном состоянии Фо(x, t). Поскольку состояние линейной комбинации.

(4.119) не является состоянием с определенной энергией, нельзя сказать, что в процессе релаксации из суиерионироваииого состояния осциллятор обязательно испустит фотон с энергией ftco. Испускание фотона должно наблюдаться в 50% случаев.

Таким образом, неучет стандартным временным уравнением Шрёдикгера существования спонтанной релаксации ведет, вообще говоря, к неверному выводу о возможности неопределенно долгого нахождения микрообъекта в супернонированном состоянии. Утверждать, что волновая функция может неопределенно долго быть линейной комбинацией разных состояний допустимо только в том случае, когда вероятность спонтанного ухода из любого состояния линейной комбинации равна нулю.

Без учета спонтанной релаксации просто невозможно правильно описывать многие явления, например, излучение разреженных газов, или взаимодействие атомов с лазерным излучением. В подобных случаях спонтанную релаксацию учитывают чисто феноменологически, вводя во временное уравнение Шрёдингера некий «оператор затухания», то есть фактически «задавая руками» эволюцию волновой функции с учетом вероятности спонтанной релаксации.

К сказанному следует добавить, что нерелятивистская квантовая механика позволяет, хотя и не совсем строго, но все же вычислить коэффициенты вероятностей Эйнштейна для индуцированных поглощения и испускания В_п-+_т и В_т-+_п. Чтобы вычислить коэффициент вероятности Эйнштейна для спонтанной релаксации Л_п_>_т, в рамках иерелятивистской квантовой механики прибегают к соотношению (4.2G), связывающему коэффициент вероятности Эйнштейна для спонтанной релаксации Л_п^_т с коэффициентом вынужденной релаксации В_п^_т. При этом фактически принимается, что соотношение (4.2G) является в рамках нерелятивистской квантовой механики первичным законом, не сводимым к другим законам квантовой механики. II лишь в рамках квантовой электродинамики, после введения процедуры квантования электромагнитного излучения, удается вычислить коэффициент вероятности Эйнштейна для спонтанной релаксации Л"._>_т независимо от соотношения (4.2G). Иными словами, в квантовой электродинамике соотношение (4.2G) выводится путем сравнения вычисленных независимо коэффициентов Л_п_"_т и В_п->_т, а не используется для определения коэффициента Ац—угп по вычисленному коэффициенту В_п->_т.

• [1] Соответствующее вычисление произведено в Приложении 1, формула (П1.15).
• [2] 10'Но использованный в доказательстве явно факт дискретности спектрана самом деле обеспечивал существование конечного скалярного произведения (ipn, фт) • Последнее утверждение иллюстрируют собственные функциигамильтониана линейного гармонического осциллятора (4.107), скалярноепроизведение которых заведомо существует, так как сходимость интеграловобеспечивает быстро убывающая экспонента.
• [3] Напримср, раскладывать в ряд по собственным функциям гамильтониана линейного гармонического осциллятора можно все кусочно-непрерывные + 00 2 функции, для которых сходится интеграл f |:г|е-1 |Ф|2 dx. —оо
• [4] Принцип суперпозиции состояний является очевидным следствием того, что в волновой механике любое, квадратично интегрируемое решениевременного уравнения Шрёдингера (линейного!) рассматривается как физически допустимое.
• [5] С точки зрения классической физики спонтанная релаксация происходит без каких-либо внешних воздействий на микрообъект, что соответствует представлению о частице, находящейся в пустоте, или вакууме. Вакуумув классической физике сопоставляются тождественно равные нулю значенияпотенциалов электромагнитного поля, поэтому классически понимаемый вакуум и не влияет на гамильтониан микрообъекта. В рамках квантовой электродинамики вакуум рассматривается как физическая среда, обладающаяопределенными свойствами, ответственными, в частности, за возникновениеспонтанной излучательной релаксации возбужденных микрообьектов.
• [6] См. стр. 74.