Понятие шкалы. 
Основные типы шкал измерения

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов , где X реальный объект, Y шкала, ц гомоморфное отображение X на У.

В современной теории измерений определено:

X = {x₁, х₂, …, х_i, …, х_n, R_х}

эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств х_i, на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение R_х. В процессе измерения необходимо каждому свойству х_i € X поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы х_i рассматриваются как альтернативы, а отношение R_х должно позволять сравнивать эти альтернативы;

У={ц (х₁), …, ц (х_n), R_y}

знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе;

ц Ђ Ф — гомоморфное отображение X на У, устанавливающее соответствие между Х и У так, что {ц (х₁), …, ц (х_n)} € R_y только тогда, когда (х_i, …, х_n) € R_х.

Тип шкалы определяется по Ф = {ц₁, …, ф_m}, множеству допустимых преобразований х_i > у_i.

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы X с отношением R_х состоит в определении знаковой системы У с отношением R_y, соответствующей измеряемой системе. Предпочтения R_х на множестве Х Ч Х в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения R_y на множестве Y Ч Y.