Свойства нормальной функции распределения

• 1. Ф*(-х>) = 0.
• 2. Ф*(+оо) — 1.
• * _
• 3. Ф (дг) — функция неубывающая.
• 4. Из-за симметричности стандартного нормального распределения

з|с э) с относительно начала координат следует (рис. 6.2): Ф (—х) = 1 —Ф (х).

Рис. 6.2. Стандартное распределение

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ X на участок, симметричный относительно центра рассеивания т. Рассмотрим такой участок длиной 21. Вычислим эту вероятность:

Часто расстояние / выражают в единицах а. На рис. 6.3 для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на а, 2а, 3а.

ПРИМЕР 1. Полагаем, что рост студентов — нормально распределенная случайная величина X с параметрами а = 173 см и сг² = 36. Необходимо найти:

a) выражение плотности вероятности и функции распределения СВ Х

b) доли костюмов 4-го роста (176−182 см) и 3-го роста (170−176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;

c) квантиль. v_{0 7} и 10%-ю точку СВ X;

d) сформулировать «правило трех сигм» для СВ X.

РЕШЕНИЕ:

a) по формулам (6.1), (6.12) и (6.15) запишем.

b) долю костюмов 4-го роста (176−182 см) в общем объеме производства определим по формуле (6.16):

Долю костюмов 3-го роста (170−176 см) можно определить аналогичным образом, но если учесть, что данный интервал симметричен относительно т = а = 173, то по формуле (6.17) оценим:

с) Квантиль х_{0 7} СВ X найдем из уравнения (6.15):

Это значит, что 70% студентов имеют рост до 176 см. 10%-я точка СВ X— это квантиль х₀₉, который, вычислив аналогично, получим х₀₉ «181.

d) «Правило грех сигм» для нормального распределения:

Тогда с вероятностью, равной 0,9974, рост студентов находится в интервале: 155<�Х<191.

ПРИМЕР 2. Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 до 2300 руб. Найти с надежностью 0,9 интервал Д изменения цены бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

РЕШЕНИЕ:

Значит, стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835,5; 2164,5) рублей.