Число. 
Система философии

Число есть соединение многообразного в единство. В своем наиболее общем значении число выражает, следовательно, как род многообразия, к которому оно относится, так и специальные количественные и качественные свойства той части, которую оно выделяет из последнего. Притом логическое мышление может для определенной цели не принимать в расчет некоторых из этих сторон понятия многообразия. Чем далее идет подобное отвлечение, тем проще становятся понятия чисел, а потому первоначальнейшие и простейшие числа бывают в то же время и наиболее абстрактными: это — простые целые числа, выражающие понятие дискретного многообразия исключительно с его количественной стороны, стало быть, изолированно от всех качественных свойств. Дальнейшие видоизменения, которые испытывает это первоначальное понятие числа, в значительной степени вытекают из присоединения известных качественных определений. Важнейшее из таких дополнений заключается в том, что к количественному содержанию понятия числа присоединяются имеющиеся в многообразии различия направлений. Прежде всего при этом представляется, как встречающийся во многих объектах опыта, случай различия двух направлений, находящий свое выражение в противоположности положительных и отрицательных чисел. Задача же численного определения большего числа различий направления, принадлежащих одному и тому же многообразию, решается в общем виде при посредстве понятия комплексного числа.

К этим преобразованиям, вытекающим из качественных свойств многообразного, присоединяются затем еще дальнейшие преобразования, хотя по большей части и вызываемые качеством объектов, но сами по себе относящиеся к количественной стороне понятия. Ближайшим возможным шагом, приводящим к образованию нового важного рода чисел, является при этом перенесение понятия единства с единичного на целое. В целом числе понятие единства переносится на единичное, то есть на принимаемую за элемент многообразия единицу. Отдельные числа получаются, стало быть, посредством сочетания этих элементарных единиц во множественности (Vielheiten) возрастающего объема.

Эмпирически выполняемое последовательное соединение таких единиц есть счет. Так как счет есть последовательный акт, то и логически число выводилось большей частью из воззрения времени. Но это основывается на смешении психологического момента с чисто логической природой понятия числа. Психологически число не могло бы, конечно, возникнуть без акта счета, стало быть, без деятельности во времени. Но благодаря этому время все-таки бывает условием понятия числа лишь в том же смысле, в каком оно бывает, например, условием закона тождества, которое ведь равным образом не могло бы возникнуть без последовательного рассматривания и сравнивания нами предметов. Логическим условием бывает не такое условие, которое эмпирически постоянно участвует при образовании какого-либо понятия в силу свойств наших представлений, но такое, которого нельзя мысленно отнять у понятия, не уничтожая самого понятия. В этом смысле время вовсе не есть логическое условие понятия числа; оно ведь не непременно мыслится в понятии числа, и логически число предполагает лишь многообразие вообще, а вовсе не специальную форму многообразия, каковой является время. При всем том из психологического значения функции счета для эмпирического возникновения понятий чисел вытекает, что за численную единицу принимается, прежде всего, единичное, мыслимое как элемент какого-либо многообразия, и что поэтому всякое объединяющее понятие единства, выражаемое какимлибо отдельным числом, состоящим из нескольких единиц, есть всегда вместе с тем понятие множественности. Таким образом возникает ряд целых чисел, первая единица которого обозначает элемент какоголибо многообразия, тогда как каждая следующая соединяет в единство группу элементов. Если же, напротив того, целое, полученное посредством перечисления, принимается за единицу, и эта единица, которая мыслится в то же время как множественность, расчленяется на единицы первого рода, тогда возникают дробные числа. Как целые числа образуются из соединения единиц, так дробные — из деления единиц. Именно поэтому для целого числа нужен один только числовой символ, указывающий количество соединяемых единиц; дробное же число нуждается в двух, из которых один, знаменатель, обозначает соединенную в единство множественность, а другой, числитель, — количество дробных единиц, содержащихся в упомянутой объемлющей их единице. Так, дробь 4/5 означает, что из целого, состоящего из пяти единиц, следует мыслить себе четыре. Так как единицы, составляющие какую-либо множественность, а равно и расчленения, которым подвергаются эти объемлющие их единицы, могут как угодно изменяться, то по отношению к дробным числам понятие высшей единицы или целого, равно как и понятие низшей единицы или единицы в собственном смысле суть понятия переменные, и низшая единица, принятая для какой-либо данной цели, может быть еще далее разлагаема для других целей. Поэтому отношение целых чисел к дробным может быть сформулировано и так, что для первых понятия единицы и элемента числового многообразия совпадают, между тем как для вторых принимаемая всякий раз единица мыслится любым образом разложимой на элементы, и существует лишь условие, чтобы и при этом многообразие признавалось дискретным, чтобы, стало быть, разложение могло продолжаться как угодно далеко, но никогда не до бесконечности.

Этим указывается в то же время и граница, отделяющая дробные числа от третьего рода чисел, от иррациональных чисел; и при иррациональном числе всякая единица мыслится разложимой на элементы, но эта разложимость рассматривается притом как бесконечная, так что последние элементы единства могут быть лишь предполагаемы в идее, но не могут когда-либо быть получены посредством действительно выполненного деления. При всем том такое действительное деление все более и более приближается к результату бесконечного в идее деления, чем далее оно продолжается, и поэтому приближенные значения данного иррационального числа всегда могут быть выражены в дробных числах. Таким образом, иррациональное число совершенно соответствует непрерывному многообразию. В то же время с образованием понятия об иррациональном числе понятие числа вообще получило наибольшую свою общность, так как его развитие теперь вполне соответствует различным формам понятия многообразия. Произошло лишь разобщение данных в этом понятии как нераздельные свойства, причем качественные свойства подлежащего определению многообразия находят свое выражение в положительных и отрицательных числах и комплексных выражениях, а количественные — в целых, дробных и иррациональных числах. Поэтому каждое отдельное число принадлежит всегда одновременно к одной из первых и к одной из последних форм.

На логическом понимании понятия числа в этой его полной отвлеченности зачастую вредно отражались, а отчасти и по сию пору продолжают вредно отражаться психологические условия его развития. Первым поводом к образованию числовых понятий послужил счет раздельных представлений объектов, и потому уже в речи фиксировались только обозначения для положительных целых чисел. Это вызывало и вызывает иной раз наклонность ограничивать подлинное понятие о числе этим родом чисел и принимать уже отрицательные и дробные, а тем более иррациональные числа и комплексные выражения не за самостоятельные формы чисел, а только за продукты арифметических действий. Ведь и в самом деле отрицательные числа получаются в результате вычитания в таких случаях, в которых это действие неисполнимо, так как вычитаемое больше уменьшаемого; равным образом дробные числа получаются в результате неисполнимых делений, иррациональные и мнимые вытекают из известных неисполнимых задач извлечения корней. Но именно эта неисполнимость определенных, логически необходимых задач при помощи обыкновенных чисел доказывает, что понятие числа нуждается в соответственных расширениях, которые и производятся посредством присоединения указанных дальнейших видов чисел. Теперь это почти всеми признается для отрицательных и мнимых чисел, в особенности с тех пор, как понятие мнимых чисел, прежде всего вследствие его геометрических приложений, расширилось в понятие комплексного выражения, а последнее повело к построению систем комплексных чисел, совершенно независящих от случайных исходных пунктов указанного первоначального возникновения. Лишь по отношению к дробным и отрицательным числам часто еще не хотят признать, что и они требуют — некоторым образом интенсивно, как вышеупомянутые требовали экстенсивно — расширения понятия числа. Однако это признавал уже Ньютон, решительно отвергнув определение числа как «количества единиц» и видя сущность его в том, что оно есть «абстрактное отношение одной величины к другим, однородным с ней». Под это понятие отношения в самом деле подходят как дробные, так и иррациональные числа. Но оно оказывается односторонним в противоположном направлении, так как оно обращает внимание только на количественную сторону понятия числа. Если же мы пожелаем принимать во внимание равным образом и качественную сторону, находящую свое выражение в различиях положительных и отрицательных чисел и комплексных выражений, то объем понятия числа оказывается вполне совпадающим с объемом понятия правильно распределенного многообразия. Если бы объектом численных определений должно было служить какое-либо неправильное многообразие, то такого рода неправильности не принимаются в расчет: стало быть, само числовое многообразие всегда мыслится как правильное. Так, при счете объектов, любым образом распределенных в пространстве, неправильность их распределения настолько же не принимается в расчет, как и прочие их различия. При всем том понятие правильного многообразия служит лишь основанием для понятия о числе, но оно не есть само это понятие. Напротив того, отличительная особенность последнего от первого состоит в том, что качественные и количественные свойства, в многообразии мыслимые соединенными, разобщаются как обособленные составные части понятия, чтобы затем снова соединиться лишь в объемлющем их понятии. Это выражается в том, что всякое отдельное число принадлежит, во-первых, к определенной системе чисел, чем определяется его качественное свойство, то есть положительное ли это число или отрицательное, действительное или мнимое, а во-вторых, к определенному роду чисел, в котором находят выражение количественные отношения, предполагаемые для соответственного многообразия: сюда относятся различия чисел целых, дробных и иррациональных или непрерывных^[1]. То обстоятельство, что иррациональные числа не могут быть нами выражаемы иначе как при посредстве приближенных дробных чисел, а последние лишь как отношения целых чисел, совершенно безразлично для вопроса о логической самостоятельности этих родов чисел. Второй из этих фактов обусловливается лишь тем практическим соображением, что действия соединения и деления единиц, соответствующие целым и дробным числам, многократно переплетаются друг с другом в нашем мышлении, так что для того, чтобы численные величины всегда становились сравнимы друг с другом, оба рода чисел должны выражаться в формах, которые в случае надобности легко можно было бы переводить друг в друга. Невозможность же дать иррациональным числам иные численные выражения, кроме приближенных, вытекает из бесконечности задачи, которую заключает в себе каждое такое число. Именно поэтому иррациональные числа наряду с другими числовыми понятиями, по подобным же причинам не допускающими обозначения посредством чисел, каковы, например, неизвестные в уравнении, повели к применению неопределенных буквенных символов. Так как в этих последних можно мыслить себе выполненными какие угодно логические требования, неисполнимые при посредстве эмпирических числовых понятий, то в них только и достигло своей совершенной всеобщности само понятие о числе. Поэтому, если требуется определить содержание общего понятия о числе, надлежит исходить от наиболее общих числовых символов, задаваясь вопросом, каково то логическое содержание, которое может быть даваемо этим символам при различных условиях их применения.

Стараясь ввиду этого дополнить вышеприведенное ньютоновское определение, мы можем вообще определить отдельное число как качественное и количественное отношение двух частей некоторого многообразия друг к другу. Для выражения качественного отношения число должно быть включено в определенную систему чисел; выражение же количественного отношения предполагает определение рода числа. Так, например, отрицательное целое число качественно содержит в себе противоположность равновеликому ему положительному числу, а количественно — отношение целого к единице; целое комплексное выражение качественно содержит в себе определение направления, данное по отношению к двум главным направлениям, а количественно — в каждом из этих направлений отношение целого к единице. Дробным числом определяется или отношение части, составленной из единиц к тому целому, к которому оно относится (правильная дробь), или наоборот, отношение целого к части, которая сама в свою очередь составлена из единиц (неправильная дробь). Иррациональное число содержит в себе отношение двух частей некоторого многообразия друг к другу, которое может быть представлено лишь посредством продолжаемого до бесконечности разложения на все меньшие и меньшие элементы. Вместе с тем к этим количественным определениям, благодаря включению числа в одну из систем чисел, присоединяется всякий раз и необходимое качественное дополнение.

Таким образом, всякое число, отличающееся от единицы, выражает отношение между некоторым целым и его частями, и в этом уже заключается мотив, не позволяющий мышлению остановиться на понятии отдельного числа. Раз, в особенности в дробном числе, указанное отношение может быть представлено лишь посредством выражения, которое само в свою очередь состоит из двух отдельных чисел, — это наводит непосредственно на переход к расширению возникшего таким образом понятия, выражающего отношение. Это расширение состоит в том, что члены отношения рассматриваются уже не как составные части отдельного числового понятия, но как самостоятельные числа, мыслимые как взаимно зависящие друг от друга вследствие того отношения, в котором они стоят друг к другу. Развивающееся таким образом новое понятие есть понятие функции.

• [1] Хотя может казаться, что термин род чисел более подходил бы для качественнойстороны понятия числа, я сохраняю все-таки и здесь обозначения, принятые соответственно логическому роду возникновения числовых понятий в моей логике, а в этомсмысле род чисел относится к роду счета, система чисел к направлению последнего.