Средняя гармоническая величина

Средняя гармоническая — это величина, обратная средней арифметической из обратных значений осредняемого признака.

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице (т.е. индивидуальные значения обратного признака 1/х встречаются по одному разу):

где l/x — отдельные варианты обратного значения признака; п — число всех вариант или число единиц совокупности.

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда известны варианты (х) и объемы признаков (w — xf), но частоты / по отдельным вариантам х непосредственно не известны, а входят сомножителями в произведение:

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда требуется исчислить среднюю из величин, обратно пропорциональных изучаемому явлению, т. е. из относительных величин. Так, если изучается производительность труда и имеются данные о трудоемкости различных изделий, то для исчисления средней трудоемкости требуется применять среднюю гармоническую. Если изучается стоимость ежегодного износа основных средств, а имеются данные о сроке службы (т.е. о величинах, обратно пропорциональных стоимости износа), то для исчисления среднего срока службы основных средств требуется применение средней гармонической. Если изучается уровень рождаемости, то для исчисления среднего числа людей, приходящихся на одного родившегося, также применяют среднюю гармоническую.

ПРИМЕР 6.3.

Изготовлено три детали. На изготовление первой детали рабочий тратит 2,3 чсл.-ч, второй — 2,5 чсл.-ч, третьей — 3,1 чел.-ч. Необходимо определить, каковы затраты времени на одну деталь (трудоемкость) в среднем.

Отметим, что вся совокупность деталей составляет число 3. На каждую единицу совокупности затрачивается разное время, поэтому среднее время на изготовление одной детали определяется по формуле средней гармонической простой:

Иногда приходится иметь дело с величинами, обратно пропорциональными другим признакам, с которыми они функционально связаны. Так, число месяцев, в течение которых оборачиваются средства, обратно пропорционально числу оборотов, или продолжительность оборота в днях обратно пропорциональна скорости оборота.

ПРИМЕР 6.4.

Предположим, что имеются две ссуды, предоставленные банком предприятиям. Одна ссуда — на 12 мес., другая — на 18 мес. Требуется определить средний период оборота средств банка в кредитных хозяйствах.

Если решить эту задачу по формуле средней арифметической простой, то получится 15 мес. ((12 + 18)/2). Однако это будет ошибкой. Ведь каждый месяц для первой ссуды с точки зрения продолжительности оборота равен 1,5 месяцам второй. Можно было бы решить эту задачу с помощью средней арифметической взвешенной, приняв для величины 12 вес 1,5, а для величины 18 — вес 1. Тогда получаем.

Тот же результат можно получить сразу, но, но формуле средней гармонической простой:

Средняя гармоническая взвешенная нередко применяется в тех случаях, когда вместо частот значений признака применяются частости, т. е. их удельные веса. Тогда общий объем признака принимается за единицу (100%), а число повторений отдельных значений признака измеряется соответствующими долями (или удельными весами в %).

ПРИМЕР 6.5.

По приведенным в табл. 6.6 данным необходимо определить среднюю техническую производительность хлебопекарной печи.

Техническая производительность хлебопекарной печи по видам продукции.

Таблица 6.6

Переведем удельные веса производительности хлебопекарной печи по видам продукции в доли: для батонов нарезных из муки 1-го сорта — 0,6; для батонов нарезных из муки высшего сорта — 0,3; для саек — 0,1.

Подставим в формулу имеющиеся данные и получим.

Типовая задача 6.1.

Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком — со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Решение

Пусть расстояние перевозки составило S км. Никакой роли при расчете средней скорости величина S не играет. При замене индивидуальных значений скорости х_х = 60 и х₂ = 40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время, затраченное в целом на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой — от скорости черепахи до скорости света. S S S S

Время поездок есть S/xj + S/x₂. Итак, —+—=—+—• Сократив все.

X X Xj Л*2.

" liii.

члены равенства на 5, получим —+— =—+—, т. е. выполняется условие.

х х х_{ х₂

гармонической средней. 2 11 2 2 120.

Подставляях. их, получаем: — =—+—> * ⁼ —т= —г— ⁼ 48 (км/ч).

д: 60 40 _1_ 1 5.

60 40.

Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, так как приводит к другому времени движения, чем оно было на самом деле. Если, предположим, расстояние равно 96 км, то реальное время составит: 96/60 + 96/40 = 4 (ч). То же время дает гармоническая средняя простая: 96 • 2/48 = 4 (ч).

Типовая задача 6.2.

Известны следующие данные о реализации товара на рынках города (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Данные о реализации товаров на рынках города

Определите среднюю цену реализации товаров на каждом рынке отдельно.

Решение

1. Определим среднюю цену реализации товаров на первом рынке. Так как данные уже сгруппированы, то используем формулу средней арифметической взвешенной, гдех — цена товара, руб.;/ — количество проданных товаров:

2. Определим среднюю цену реализации товаров на втором рынке. В данном случае отсутствуют частоты ряда (J), г. с. количество реализованных товаров, но известна их стоимость (wxf), тогда для определения средней цены используем формулу средней гармонической: