Метод инвариантных импульсных характеристик

В основе этого метода, который также называют методом сохранения импульсного отклика, лежит предположение о том, что импульсный отклик дискретного фильтра эквивалентен последовательности отсчетов, полученных при дискретизации импульсного отклика схемы аналогового прототипа. Для физически реализуемых устройств импульсная характеристика имеет следующий вид:

причем число членов может быть как конечным, так и бесконечным.

Применяя 2-преобразование к последовательности {h_k}, необходимо получить передаточную функцию H (z) фильтра в виде дробно-рациональной функции. Метод инвариантных импульсных характеристик состоит в определении полюсов s_{n к} передаточной функции H (s) аналогового фильтра-прототипа. Если все полюса являются простыми, выражение передаточной функции можно свести к виду.

В этом случае полюса определяются как z_nk = ехр (5_п ^Г_д). Коэффициенты разложения на простые дроби передаточных функций H (s) и H (z) одинаковы. Для обеспечения стабильности (устойчивой) работы аналогового фильтра каждый полюс должен удовлетворять условию Res^ < 0, т. е. kz_k = = expfRe. s^jTJ < 1. Следовательно, в дискретном фильтре стабильность работы исходной аналоговой схемы сохраняется. При необходимости можно сравнить коэффициенты передачи дискретного и аналогового фильтров по степени близости амплитудно-частотных характеристик. Для определения АЧХ используют подстановку z = expjoiT_v

Следует отметить, что для этого метода существует точная связь между комплексными величинами 5 и 2, задаваемая выражением 2 = exp sT_;v однако его использование не позволяет получить H (z) в виде рациональной функции.

Метод применяется для построения узкополосных фильтров и фильтров нижних частот.

Пример. Пусть импульсная характеристика h (t) = exp (-t/x) аналогового RC-фильтра, задана на интервале t = О…00 бесконечной дискретной последовательностью.

Частотная характеристика RC-фильтра имеет вид.

Используя 2-преобразование, получим следующее выражение передаточной функции:

После подстановки z~^x = exp (-j (oT_;i) в #(2) получим выражение частотной характеристики дискретного фильтра:

При TJт —> 0 получаем.

Из сопоставления (7.6.14) с (7.6.15) следует, что частотные характеристики фильтров при малом шаге дискретизации имеют одинаковую форму.

Метод на основе дифференциального уравнения. В качестве исходных данных может быть использовано дифференциальное уравнение, с помощью которого описывается фильтр с требуемыми характеристиками. Для иллюстрации этого метода воспользуемся дифференциальным уравнением колебательного контура, которое описывает связь между выходным колебанием y (t) и входным колебанием x (t):

Путем замены производных конечно-разностными выражениями перейдем от дифференциального уравнения к разностному уравнению:

гдех_п, у_п — отсчеты входного и выходного сигналов; Г_д— шаг дискретизации.

Перегруппировав слагаемые, сведем (7.6.16) к виду.

Для определения передаточной функции дискретного фильтра воспользуемся 2-преобразованием и перепишем (7.6.17) в виде.

Из (7.6.18) находим.

Для схемной функции вместо (7.6.17) используют выражение.

которое задает алгоритм рекурсивного фильтра второго порядка, называемого цифровым резонатором [6].