Электромагнитные волны. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Волновое уравнение и его решение

Пусть некоторая физическая величина зависящая от времени t и координаты 2*, удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных.

является решением уравнения (11.1). Функция (11.2) является сложной и может быть представлена в виде.

где v — постоянная величина. Это уравнение называют волновым.

Пусть / = /(() — произвольная функция аргумента ?. Покажем, что функция Найдем производные этой функции по t их:

Нетрудно видеть, что подстановка вторых производных в уравнение (11.1) обращает его в тождество. Что и требовалось доказать. Аналогично можно показать, что функция.

где h — произвольная функция одного переменного, также является решением уравнения (11.1).

Как известно из школьного курса математики, график зависимости функции (11.2) от х при t = const при увеличении t смещается вправо, не изменяя своего вида (рис. 11.1). За время от t = 0 до произвольного момента времени 1 график функции смещается на расстояние х = vt. При этом скорость смещения равна v. Говорят, что функция (11.2) описывает волну, бегущую вдоль оси х. Функция (11.3) также описывает бегущую волну. Только эта волна «бежит» в другую сторону, так как график функции (11.3) при увеличении t смещается влево. Величину v называют скоростью распространения волны.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 11.1. Бегущая волна Общее решение уравнения (11.1) имеет вид т. е. в общем случае вдоль оси х могут распространяться сразу две волны, одна из которых ''бежит" вправо, а другая — влево.