Линейная алгебра

1. Вычислить определитель

Домножим первую строку на (-1) и сложим с третьей, домножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой матрица уравнение формула математический

2. Выполнить действие над матрицами. Даны две матрицы, А и В. Найдите: АВ; ВА, АА-1; В-1 В.

Вычислим обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

. Тогда

Где А_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

— следовательно матрица, А имеет обратную матрицуА^-1.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

— следовательно матрица В имеет обратную матрицуВ^-1.

3. Решить систему линейных уравнений а) по формулам Крамера

б) методом Гауса

в) с помощью обратной матрицы Выполнить проверку.

Решение:

а) по формулам Крамера

Найдем определитель матрицы:

— значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамера:

Получаем:

в) методом Гауса.

Запишем расширенную матрицу

вторую строку помножим на (-2) и сложим с первой, вторую строку помножим на (-4) и сложим с третьей.

Помножим первую строку на (-2) и сложим с третьей, помножим первую строку на (2/8) и сложим со второй.

Помножим третью строку на (15/9) и сложим с первой, помножим третью строку на (-¼) и сложим со второй.

Помножим вторую строку на (6) и сложим с третьей, затем помножим вторую строку на (-14) и сложим с первой.

Получаем:

в) с помощью обратной матрицы Обозначим через, А — матрицу коэффициентов при неизвестных; Х — матрицу-столбец неизвестных Х₁, Х₂, Х₃; Н — матрицу-столбец свободных членов:

,

С учетом этих обозначений данная система принимает следующую матричную форму:

А•Х = Н.

Если матрица не вырожденная (ее определитель отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А^-1. Х = А^-1•Н.

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

. Тогда

Где А_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения иследовательно матрица, А имеет обратную матрицуА^-1.

Теперь можем найти решение данной системы:

Х=А¹•Н=

Значит:

Ответ: (0,5; 1/3; -0,25)

4. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А, В, С, D.

Найти:

1) модули векторов выходящих из точки D;

2) уравнение плоскости АВС;

3) уравнение сторон треугольника АВD;

4) уравнение прямой проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС;

5) объем пирамиды с вершиной в точке D;

6) площадь треугольника АВС;

7) сделайте чертеж.

Решение:

1. Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), определяется по формуле:

Найдем модули векторов

2. Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

— уравнение грани АВС.

3. Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

Найдем уравнение прямой DA:

— уравнение прямой DA.

Найдем уравнение прямой DВ:

— уравнение прямой DВ.

Найдем уравнение прямой AB:

— уравнение прямой AВ.

4. уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС Прямая проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и перпендикулярная плоскости Ах + Ву + Сz + D=0 представляется уравнением

— уравнение искомой высоты.

5. объем пирамиды АВСD

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах. Объем параллелепипеда найдем, используя смешанное произведение векторов:

Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора находятся следующим образом:

Координаты векторов

6. Площадь грани АВС найдем, используя векторное произведение:

то есть вектор векторного произведения имеет координаты (-24; -35; -33).

5. Химический завод производит два вида химикатов, А и Б с применением реакторов двух типов. Фонд рабочего времени реакторов, время обработки единицы реакторов, время обработки ед. химиката, стоимость ед. химиката, приведены в таблице:

Известно что химиката, А должно быть выпущено на 2 ед. больше чем, В. Определить план выпуска химикатов, чтобы прибыль была максимальной.

Решение:

Графический метод Составим экономико-математическую модель задачи:

F (X)= x₁ + 2x₂>мах При ограничениях

Построим на плоскости Х₁ОХ₂ многоугольник решений — область допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных задачи знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

Построив прямые системы, найдем соответствующие, знакам неравенств полуплоскости и их пересечение:

Многоугольником решений задачи является четырехугольник ABCD, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек экстремума (точек максимума и минимума) построим начальную прямую L₀ (линию нулевого уровня F (X) = 0 = x₁ + 2x₂ и вектор (1; 2).

Передвигая начальную прямую в направлении вектора (1; 2), найдем точку С (точку выхода) в которой начальная прямая принимает значение максимума.

Вычислим координаты этих точек.

Точка С получена в результате пересечения прямых (1) и (2), найдем ее координаты решив систему.

С:

Следовательно необходимо выпускать химикаты, А в объеме 7,5 ед. и химикат в В в объеме 0,5 ед., при этом прибыль будет максимальна и составит 8,5 ед.

6. Выполнить действия, результаты изобразить геометрически Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:

Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Разделить комплексное число (делимое) на комплексное число (делитель) — значит найти такое число (частное, которое при умножении на делитель даст делимое.

На практике удобно домножить и разделить на сопряженное к знаменателю.