Расчет интерференционной картины от двух точечных когерентных источников

Предположим для простоты, что на расстоянии d друг от друга имеются два источника когерентных волн с одинаковыми амплитудами и нулевыми начальными фазами (рис. 5.2). Тогда уравнения колебаний, создаваемых в точке М на экране, отстоящем от источников на расстояние L, имеют вид.

где к — 2п/Х — волновое число, и Ё₂ перпендикулярны плоскости рисунка.

Результирующее колебание будет равно Е_м =Е₀-е^ш? (e~^ikd' +e~^ikdz).

Разделим на ехр ^+с^) т₀гда с учетом формул Эйлера V ² )

— уравнение гармонических колебаний с амплитудой Л = 2?₀ х.

fc (d₂ ^— di) л j j.

х cos—^?-—, которая зависит от разности хода двух волн, Д = а₂ — d_v

Рис. 5.2.

Если кА/2 = 2кА/2Х = 2тк, где т — 0, ±1, ±2, …, то А² =4Efi, т. е. X

А = 2 т — — условие максимума интерференционной картины: оптическая разность хода равна четному числу полуволн.

Если же кЛ/2 = 2лА/2А, = (2т + 1)—, или, А = (2т + 1)—, А = 0 — условие минимума: разность хода равна нечетному числу полуволн. Если амплитуды волн равны, то интенсивность света в минимуме равна нулю.

Из геометрических соображений разность хода волн можно связать с положением точки наблюдения на экране (I = х):

(из подобия треугольников).

Отсюда положение максимумов на экране определяется соотношением.

Расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами) будет равно.

Величина Дх называется шириной интерференционной полосы.

Положение интерференционных полос зависит от длины волны к, т. е. от цвета падающей волны (рис. 5.3).

Рис. 5.3.

Классические интерференционные схемы

Из рассмотренного выше примера следует, что две монохроматические волны одинаковой частоты всегда когерентны. Однако реальные волны — немонохроматические, они имеют определенный спектральный состав, АX Ф 0. Реальные световые волны излучаются большим множеством возбужденных атомов. Для обычных тепловых источников света время жизни атома в возбужденном состоянии мало (10^-10—10^-8 с), акты излучения носят случайный характер. В результате этого световые волны сохраняют регулярную последовательность с приблизительно постоянной амплитудой и стабильной фазой в течение малого интервала времени т.

Такая регулярная последовательность распространяющихся колебаний называется волновым цугом, т — временем излучения цуга, I = с • т — длиной цуга. Два последовательных цуга взаимно не когерентны.

Свет, излучаемый обычными лампами, состоит из большого множества цугов волн. По этой причине нельзя получить устойчивую интерференционную картину от двух или более независимых тепловых источников.

На практике для получения когерентных волн обычно используется один источник света, его излучение разделяется на две или более частей, которые проходят разные оптические пути, после чего накладываются друг на друга. Идея такого метода получения когерентных волн принадлежит Френелю (1816 г.).

Таким образом реализуется наложение друг на друга частей, принадлежащих одному цугу, т. е. обеспечивается условие когерентности.

Как же практически можно расчленить излучение на когерентные потоки? Существует несколько приемов.

1. Опыт Юнга (1802 г.).

Источником света служит ярко освещенная щель R, от которой световая волна падает на две узкие щели и S₂, освещаемые одним и тем же волновым фронтом (рис. 5.4). На экране наблюдается система интерференционных полос, положение и ширина которых соответствует расчетам параграфа 5.2.

Рис. 5.4.

2. Бизеркала Френеля (1816 г.).

Свет от точечного источника S отражается от двух зеркал, расположенных под углом, близким к 180°. Волны, отражающиеся от зеркал, представляют собой систему когерентных волн, как бы исходящих от когерентных источников и S₂ (рис. 5.5). На экране наблюдается интерференционная картина.

Рис. 5.5.

3. Бипризма Френеля (1816 г.).

Свет от точечного источника S, преломляясь в бипризме, образует систему двух когерентных волн, как бы идущих от двух источников и S₂ (рис. 5.6).

Рис. 5.6.

4. Билинза Бийе.

Тонкая линза разрезается по диаметру, и обе половины слегка разводятся. Благодаря этому образуются от точечного источника света S два действительных изображения и S₂. Прорезь между полулинзами закрывается (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

5. Зеркало Ллойда.

Прямой пучок света от источника S интерферирует с пучком света, отраженным от зеркала (т. е. от мнимого изображения S' (рис. 5.8). В отличие от верхних схем Френеля интерференционная картина сдвинута на полполосы из-за потери Х/2 при отражении света от зеркала и в центре имеет темную полосу.

Рис. 5.8.

Все рассмотренные выше приемы относятся к получению интерференционной картины методом деления фронта волны.