Естествознание и математика. 
Онтологические и гносеологические основания математизации знания

Известный физик Евгений Вигнер говорил о «необъяснимой применимости» математики в естественных науках, а Н. Бурбаки писал: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением математических структур, и оказывается, неизвестно почему, что некоторые аспекты реальности будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм». Действительно, в некоторых философских концепциях содержатся идеалистические и мистические моменты в попытках онтологического обоснования применимости математики в познании. Так, Пифагор утверждал, что «все есть число» и «миром правят числа». Платон отождествлял огонь, воду, землю, воздух, эфир с правильными многогранниками. Кеплер даже построил модель Солнечной системы на основе пяти «Платоновых тел». Готфрид-Вильгельм Лейбниц утверждал, что между математикой и природой существует предустановленная гармония. В современной философии «логические атомисты» сводят математику к логике.

Давались и разнообразные гносеологические основания математизации знания. Так, Платон считал, что математическое знание запечатлено в душе человека, а не основано на практическом опыте. Кант универсальную применимость математики объяснял тем, что арифметика и геометрия суть априорные формы нашей «чувственности» и поэтому присутствуют во всяком опыте, так что трехмерны не вещи и не пространство, а наше восприятие. В современной философии математики интуиционисты также основывают арифметику на априорном созерцании времени, а остальную математику — на арифметике.

Рациональное объяснение универсальной применимости математики в познании состоит в том, что качество и количество вещей по отдельности существуют лишь в абстракции, объективным же существованием обладает лишь их единство, называемое «мера» .

Категория меры играла фундаментальную роль уже в философии досократиков, о чем свидетельствуют высказывания Пифагора и Гераклита. Поэтому, в частности, греки избегали пользоваться абстракцией актуальной бесконечности, которая не подчиняется закону меры. Пятый постулат Евклида о параллельных линиях, в котором скрыто присутствует идея актуальной бесконечности, не казался им столь же очевидным, как другие аксиомы и постулаты, а аксиома «целое больше части» прямо запрещала рассматривать такие объекты, как бесконечные множества, для которых часть равна целому. Открытие греческими математиками несоизмеримости отрезков, т. е. отсутствия у них общей меры, вызвало первый кризис в основаниях математики.

Так как метод познания всегда определяется природой познаваемого объекта, онтологическая универсальность меры объясняет гносеологическую универсальность математики. «К области математики, — писал Декарт, — относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое» .

Декарт полагал, что решение любой корректно поставленной научной проблемы может быть сведено к решению математической задачи, любая математическая задача — к алгебраической, а любая алгебраическая задача — к решению одного-единственного уравнения. Решить же уравнение — значит выразить неизвестную величину через известные. Любая научная задача может быть решена, если ее формулировку освободить от всего лишнего и свести к отношениям простейших интуитивно ясных понятий. Так, весь физический мир Декарт считал возможным описать с помощью одного понятия протяженности. Пространство и время — различные виды протяженности, а скорость движения есть отношение пространства ко времени. Движение точки полностью описывается двумя параметрами — скоростью и направлением. Если в пространстве (двумерном) введена метрика, то каждому положению точки сопоставляется пара чисел и траектория движения точки превращается в числовую последовательность.

Таким образом, движением точки создается «геометрическое место точек», или множество точек, определяемых каким-то общим для них свойством, а между «текущими» координатами точки имеется какое-то закономерное отношение, порождающее эти точки одну за другой. Уравнение движения и есть знаковая модель процесса.

Итак, одно абстрактное отношение имеет две разные, но скоординированные «проекции» — геометрический наглядный образ и числовое выражение. В этом и состоит, согласно Декарту, сущность математизации природы: «физика» сводится к геометрии, геометрия — к арифметике, а последняя выражается на языке алгебры, который обладает той особенностью, что, будучи вполне символическим, может выражать все что угодно. Создание удобных обозначений стало решающим условием математизации естествознания в XVII в. Свой вклад в усовершенствование символики внесли Франсуа Виет и Лейбниц. Последний полагал, что обозначения должны стимулировать воображение, т. е. что сами символы должны выполнять эвристическую роль в получении новых результатов, а не просто фиксировать то, что уже найдено без их участия.

Правда, заслуга эффективного применения математики для описания природы принадлежит не Декарту, а Ньютону, так что говорят, что Декарт все объяснял, но ничего не вычислял, а Ньютон все вычислял, но ничего не объяснял, — поэтому физику Декарта называют «гипотетической», а физику Ньютона — «математической» .

Гегель, со своей стороны, также подчеркивал, что «математика природы, если она стремится стать наукой, по существу своему должна быть наукой о мерах» .

Поскольку структура есть такое же специфическое единство количества и качества, как и мера, то Н. Бурбаки не высказывает чего-то иного, когда определяет математику как науку о структурах. Даже бесконечное как специфический объект математики не есть только неограниченное повторение, а есть «бесконечность отношений меры» или «узловая линия» мер.

Математизация знания в астрономии и механике.

Раньше других наук математика проникла в механику и астрономию. С механическими явлениями люди соприкасались с первых веков существования цивилизации. Плавание кораблей, перемещение грузов при помощи рычага, условия равновесия сил — всюду требовалось знание хотя бы основ механики.

Механика изучает наиболее общий и фундаментальный вид движения, к которому сводили всякое другое изменение. Эта идея лежит в основе атомистической теории Демокрита.

Началом математического описания природы было создание календаря. Вавилонские жрецы обнаружили, что солнечные затмения повторяются спустя 6585 суток. Это потребовало длительных наблюдений в разных местностях, так как следующие друг за другом затмения бывают видны, как правило, в разных частях Земли, что математически обосновал еще Гиппарх Родосский.

Движения небесных тел отличаются исключительной регулярностью, поэтому Аристотель утверждал, что математика применима только к «надлунному миру» .

Геометрия и тригонометрия, в которых нуждались геодезия, мореплавание и строительство, стали применяться и в астрономии, так как небесный свод был подобен земной поверхности, причем в астрономии применялась не только плоская, но и сферическая тригонометрия. Создание гелиоцентрической системы было бы невозможно, если бы Николай Коперник, кроме медицинских и юридических знаний, не приобрел бы во время десятилетнего пребывания в Италии еще и основательных познаний в геометрии. Математическая обработка материалов наблюдений Тихо Браге подтолкнула Иоганна Кеплера к гипотезе об эллипсах как формах планетных орбит.

Но именно Ньютон был первым, кто целенаправленно применял в астрономии метод математического моделирования. Сначала он заменил планеты материальными точками, которые выступают как центры сил, зависящих только от расстояния. Затем он постепенно усложнял первоначальную простую модель, чтобы она могла объяснять наблюдаемые факты. Эвристическая роль математики в этом случае состояла в направлении интуиции в нужную сторону.

Математика как язык науки. В целом по отношению к естествознанию математика играет роль формальной метатеории, поставляя запас готовых форм для представления знания. Но будучи полезным и удобным языком представления знаний, математика, как и всякий используемый нами язык, незаметно вводит и такие объекты, которые существуют только в самом языке. Еще Парменид заметил, что язык нас вводит в заблуждение, так как в нем есть слово «небытие», хотя небытия и нет. Так статистика создает «средние величины», отсутствующие в реальности, так в платонистской математике допускается, чтобы элементами множества наряду с индивидами были также и множества, и такое свободное конструирование множеств оказалось чревато парадоксами. Из-за этого создается впечатление, что «математические формулы существуют независимо от нас, что они умнее своих создателей», как писал Г. Герц.

Вместе с тем, работая с математической моделью процесса в виде уравнения, физик, произвольно изменяя его, получает новые соотношения между величинами, которые в опыте еще не наблюдались. В этом состоит метод математической экстраполяции, благодаря которому были получены многие важные результаты. Так, Дж. К. Максвелл видоизменил уравнения электродинамики так, что из них логически следовало существование переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве со скоростью света, или «волн Герца». Эйнштейн писал: «Я убежден, что чисто математическое построение позволит найти закономерности, которые дадут ключ к познанию явлений природы» .

Значение математической «идеи инвариантности» в физике.

Примером продуктивного использования важной математической идеи в физике может служить принцип инвариантности (симметрии). В 1841 г. английский математик и логик Дж. Буль открыл класс алгебраических функций, обладавших свойством инвариантности при некоторых преобразованиях, а затем А. Кэли и Дж. Сильвестр создали новую область алгебры — теорию инвариантов. В физике математической идее инварианта соответствует идея относительности. В качестве основного свойства механического движения его относительность была установлена Галилеем и приобрела фундаментальное значение в теориях, созданных в XX в. А. Эйнштейном. Последний указал, что свойством инвариантности обязательно должны обладать все физические законы.

В других науках свойство инвариантности некоторых величин выявилось при использовании математических и системно-структурных методов познания.

Так, структура выступает как инвариантный аспект систем в химии, кристаллографии, биологии, социологии и лингвистике. Изоморфизм структур различных по субстрату явлений создает предпосылку для единства их математического описания. Например, формула Кулона для взаимодействия электрических зарядов имеет ту же самую математическую форму, что и закон «всемирного тяготения» Ньютона.

Эйнштейн понял, что пространственные и временные параметры, траектория движения, масса могут быть различными в разных системах отсчета, т. е. изменяться по своей величине при изменении способов их представления или описания (преобразования, перефразировка), но имеются и инвариантные характеристики, а также закон, связывающий изменяющиеся характеристики и координирующий их совместную изменяемость.

И сама математика, как это было показано еще Феликсом Клейном в «Эрлангенской программе» (1872), упорядочивается с помощью идеи инвариантности. Так, геометрия становится частным случаем теории инвариантов. Теория групп как некоторая часть алгебры позволяет по-новому взглянуть не только на физический мир, но и на математику. Между понятием числа и понятием группы выявляется глубокая связь. С точки зрения теории познания понятие группы ставит на более высоком уровне ту же проблему, что возникла в связи с понятием числа. Создание натурального ряда чисел начиналось с установления «первого элемента» и правила, порождающего последующие числа. Как бы мы ни продвигались в усложнении порождаемых «элементов», все они принадлежат к той же совокупности, «группе». В теории групп преодолевается противопоставление «элемента» и «операции». Операции становятся элементами. Совокупность операций образует группу, когда два любых последовательно проводимых преобразования дают тот же итог, который дает и одна-единственная операция. Так что группа есть закрытая система операций. Только при посредстве понятия группы Герман Минковский смог придать строго математическую форму специальной теории относительности Эйнштейна и тем самым показать ее с совершенно новой стороны.

Роль измерения в математизации знания. В естественнонаучное знание числовые величины вводятся при посредстве измерений.

o Измерением называется процедура, с помощью которой свойства объектов представляются в форме числовых величин или чисел.

В естествознании наблюдения обычно сопровождаются измерениями наблюдаемых параметров. Сначала имеющиеся свойства разбивают на качественные классы и упорядочивают их путем сравнения в отношении больше — меньше по степеням интенсивности некоторого выбранного параметра. Каждой градации можно приписать некоторое условное числовое значение, или балл. Так, твердость минералов оценивается по десятибалльной шкале. Ртутный термометр представляет на шкале субъективные ощущения тепла, или степень нагретости, как ряд значений, соответствующих величине теплового расширения рабочего тела — ртути. Изобретатель термометра опирался на гипотезу о равномерном увеличении объема при нагревании. Создатель классической теории измерений Г. Гельмгольц называет «фундаментальными» измерения, не предполагающие предшествующих им измерений, а измерения, зависящие от других, — «производными». Р. Карнап говорил о «классифицирующих», «сравнительных» и «метрических» научных понятиях и т. д. В основе всякой теории измерений лежит идея изоморфизма между какой-либо эмпирически находимой реляционной системой и некоторой числовой системой, например системой натуральных или действительных чисел. Так что измерение можно отнести к разновидности математического моделирования, где в качестве модели реальных отношений выступает числовая система.

В научных исследованиях измерения каждой величины производятся по возможности многократно (так как при достаточной точности результаты не повторяются), с тем чтобы применить статистическую теорию обработки результатов, вывести среднее значение и определить характерную для данного вида измерений погрешность.

Математическое моделирование.

Математические модели являются разновидностями знаково-символических моделей. Так, формула окружности в знаковой форме представляет все ее свойства. Все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями изучаемых ими явлений.

Модель не тождественна явлению, так как состоит из искусственных объектов — знаков. Она только в логически связанном виде представляет некоторые его аспекты и дает приближение к реальности. Например, гидродинамика — это модель движения жидкости.

В модели явным образом перечислены все предположения, которые положены в ее основу и используются при ее построении. Так, при формализации содержательной математической теории перечисляются все аксиомы и правила вывода формул, и никакие другие выражения, кроме допустимых, там просто не могут появиться, разве что по ошибке.

Предположения, положенные в основу модели природного явления, могут быть весьма грубыми. Так, ньютоновская модель Солнечной системы использовала такие предположения: небесные тела суть материальные точки соответствующей массы, локализованные в их центрах тяжести, между которыми действует сила, равная произведению масс, деленному на квадрат расстояния между указанными центрами и умноженная на некоторый коэффициент, вычисленный экспериментально. При всей грубости такой модели она давала возможность предсказывать расположение небесных тел на длительный срок и даже существование не наблюдавшихся ранее небесных тел по их взаимодействиям с наблюдаемыми телами. Так в 1846 г. У. Леверье и Дж. Адамсом была открыта «на кончике пера» планета Нептун, а в 1930 г. П. Лоуэллом — планета Плутон. Более точная релятивистская модель позволила объяснить поведение Меркурия, которое для прежней модели было аномалией.

В истории науки одно и то же явление нередко моделировалось по-разному. Для объяснения света предлагались корпускулярные и волновые модели, пока не появилась электромагнитная. Каждая из этих моделей требовала своего математического описания. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и позволяла вывести законы отражения и преломления света. Волновая модель использовала уже другой математический аппарат и позволяла объяснить явления интерференции и диффракции, которые не были понятны геометрической оптике.

До появления компьютеров математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления, которую не всегда доводили до формул, потому что природа оказывалась существенно сложнее модели.

Упрощение модели (например, замена нелинейной модели линейной) неизбежно означало уменьшение числа получаемых выводов, потерю части информации. При использовании компьютеров по-прежнему составляется логико-математическая модель задачи, а уже по ней составляется программа работы компьютера. Но исследователь ставит уже не ту цель, что прежде, — вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять все параметры явления. Так была построена модель последствий ядерной войны, могущих повлиять на экологию планеты.

Математическое моделирование используется и тогда, когда о физической природе известно недостаточно. В этом случае строится гипотетическая модель и из нее выводятся допускающие наблюдение следствия. Гипотетические модели выполняют эвристическую роль, например наводят на идеи новых экспериментов.

История науки показывает важность гипотез и основанных на них моделей. Например, на основе гелиоцентрической гипотезы Николай Коперник построил математическую модель Солнечной системы. «Планетарная модель» атома Эрнеста Резерфорда позволила Нильсу Бору рассчитывать квантовые числа электронных орбит и т. п.

В прошлом математические модели природы строили, исходя из принципа лапласовского детерминизма. Предполагалось, что между различными по времени состояниями системы существует однозначная связь. Однако уже в XVIII в. в науке стали применяться и статистические модели, сначала в описаниях социальных явлений, а затем и в описании природы. Дж. К. Максвелл, Людвиг Больцман и другие построили кинетическую теорию газов, основанную на гипотезе, что любой объем газа состоит из очень большого числа хаотически движущихся молекул. Оказалось, что на основе столь простых предположений можно создать богатую результатами теорию, подтверждаемую экспериментами. Так теоретико-вероятностные модели стали основой современной физики, особенно физики микромира. Уравнение Шредингера есть модель поведения электрона в атоме водорода, и оно служит, в принципе, теоретической основой всей химии. Решить уравнение — значит найти волновую функцию, соответствующую стационарному состоянию атома. Решений всегда существует множество, и каждому соответствует свое значение энергии. Основное состояние — состояние с минимальной энергией. Но точное решение уравнения Шредингера можно найти лишь в простейшем случае для одного электрона. С увеличением числа электронов сложность задачи катастрофически возрастает.

Математизация знаний заключается не только в использовании готовых математических структур в качестве моделей, но и в развитии математической теории: потребности «небесной механики» стимулировали создание Ньютоном «метода флюксий», т. е. дифференциального и интегрального исчисления.