Метод комбинаторной топологии, или симплициального комплекса

Этот метод, разработанный для анализа связности компонентов в системах, может быть также использован в качестве метода организации сложных экспертиз.

Топологические исследования сложных систем на основе изучения их структурных свойств были начаты в 1960— 1970;е гг. Математические основы метода были заложены К. Друкером, получили развитие в работах британского физика Р. Эткина, которым был разработан первый инструмент симплициального анализа, названный^{-анализом.} Эти работы послужили началом исследования сложности структур систем методом^{-анализа} или полиэдральной динамики. Наиболее полно метод комбинаторной топологии развит в работах Дж. Каста.

Методика анализа^{-связности} позволяет судить о связности системы более глубоко, нежели традиционные исследования связности графа, и упорядочивать оцениваемые компоненты в порядке возрастания или убывания связности.

Для того чтобы наглядно изучить связность структуры, необходимо рассмотреть понятие комплекса. Симплициальный комплекс — это естественное математическое обобщение понятия планарного графа, отражающего многомерную природу бинарного отношения. Поскольку симплициальный комплекс, по существу, не что иное, как семейство симплексов, соединенных посредством общих граней, то естественной характеристикой связности могла бы служить размерность грани, общей двум симплексам. Если нас интересует комплекс в целом, то более целесообразно использовать понятие «цепь связи», отражающее тот факт, что два симплекса могут не иметь общей грани, но могут быть связаны при помощи последовательности промежуточных симплексов.

С учетом соображения размерности понятие^{-связности} может быть сформулировано следующим образом.

Понятие цепи связи —^{-связность} — формулируется следующим образом: два симплекса аг и ор (г, р — геометрические размерности q соответствующих симплексов) комплекса К соединены цепью <7-связи, если существует последовательность симплексов Gay, q = 1, 2, п в К такая, что oaq — грань а, ста, — грань ор, ааС{ и аа (/+1 обладают общей гранью размерностью Р для #=1,2, п — 1; q = min{r, pt, Р, —, Р/;, р) (нижний индекс симплекса соответствует его геометрической размерности, т. е. dim а, = г).

Задача изучения структуры связности комплекса К сводится к рассмотрению классов^{-эквивалентности.} Для каждого значения размерности q = О, 1, dim К можно определить число различных классов эквивалентности Q, y. Эту операцию называют^{-анализом} комплекса К, а вектор Q = (Qdim ю ft Qo) — первым структурным вектором комплекса.

Симплексы связывают посредством множества отношений Л. Множество Л обладает так называемой матрицей инцидентности (или матрицей инциденций):

[1, если и7: охвачен видом деятельности /, гдеХ^= *.

у [0, в противном случае Таким образом, отношение X между двумя различными множествами Ри ¥является подмножеством декартова произведения Я = ^ V?. Если пара (И^, ^) е X, то говорят, что V/, находится в отношении X к^. Это отношение представляют в виде матрицы инциденций Л = (Хц):

Симплициальный комплекс КХ (У А,)={80; 5(3>0; 50> состоит из следующих четырех симплексов:

Графически на плоскости можно изобразить лишь симплекс размерности д < 3.

Алгоритм анализа q-связности

1. Подсчет единиц в каждой /-строке, / = 1, 2, т и вычисление размерности симплексов комплекса Кх ( Г; X):

2. Подсчет единиц в каждом устолбце и вычисление размерности симплексов комплекса К{/(Х; X*):

3. Преобразование матриц.

Преобразование матрицы, А в, А — упорядочивание /-строк сверху вниз по правилу:

Эксцентриситет симплекса о задается следующей формулой:

где ц' — размерность симплекса а, а ц" — наибольшее значение д, при котором с становится связанным с каким-либо другим симплексом из К.

Таким образом, на основе бинарных оценок элементов матрицы инциденций (что экспертам сделать легче, чем дать количественные оценки) можно получить более дифференцированные оценки эксцентриситета, которые позволяют упорядочить компоненты по критерию связности.

В настоящее время развивается направление моделирования, сочетающее методы комбинаторной топологии с когнитивным подходом, в соответствии с которым матрица инциденций формируется на основе когнитивного графа.