Расчет множителей и и d, риск-нейтральных вероятностей p и q и построение с их помощью многостадийного бинарного дерева событий

Мы видели, что при построении простого одностадийного бинарного дерева можно дать оценку оптимистическому, пессимистическому сценариям развития событий и на этой основе оцепить риск-нейтральные вероятности. Однако если речь идет о многостадийном дереве, то такой путь может показаться очень трудоемким: слишком много сценариев придется рассчитывать, и возникнет большая зависимость результата расчетов от множества допущений, принятых по различным сценариям. Поэтому на практике поступают проще: считают, что для реального опциона дерево событий строится таким же методом, что и по финансовым активам. То есть принимается допущение, что законы броуновского движения, действующие в отношении финансовых активов, справедливы и для реальных активов, на которых основаны реальные опционы. И тогда для оценки множителей и дерева событий считается возможным использовать следующие формулы:

д = -?

После оценки этих показателей строится бинарное дерево слепа направо так, как показано на рисунке.

Вероятность движения «вверх» на каждой из стадий развития процесса (дерева) равна ?, вероятность движения «вниз» — д.

Ситуация 6.6 (Продолжение)

Продолжим оценку проекта разработки и внедрения операционной системы АВС-ХР.

Следующий этап оценки — построение дерева событий для проекта на пять лет. Для этого рассчитаем параметры опциона:

и = е° =е0Л6 =1,174;

^=1/ы=1/1Д74=0,852.

Риск-нейтральные вероятности.

0 = 1-?=1−0,653 = 0,347.

Далее построим само бинарное дерево из точки 5=21 млн руб. Для того, чтобы получить следующие две узловые точки дерева, надо оценку 5 из предыдущей точки умножить на множитель и и на множитель &,.

5хм = 1Д74×21 = 24,6; 5x^=0,852×21=17,9.

Полученные значения снова умножаются на и и б/, получается следующее звено дерева, и т. д. В результате таких вычислений, производимых слева направо, образуется бинарное дерево из пяти звеньев, соответствующих пяти годам существования опциона:

Построение дерева опциона и оценка реального опциона

На последнем этапе строится точно такое же дерево, только заполнение его клеточек теперь происходит от конца дерева к его началу, т. е. не слева направо, а, наоборот, справа налево. В каждой клеточке дерева оценивается цена опциона или портфеля опционов в соответствующий момент времени. Это делается так — начиная с последнего ряда клеток, в каждой клетке дерева производится оценка, какое решение следует принять:

• • оставить все как есть;
• • исполнить опцион А;
• • исполнить опцион Б; и т. д.

Принимается решение, которое обеспечивает максимальную ценность бизнеса. Если оптимальным решением является исполнение какого-то опциона, то эффект от принятия этого решения (Сг ^0) вписывается в соответствующую метку, если ни один опцион нецелесообразно исполнять, то эффект в этой клетке равен нулю (С1 = 0).

Если мы хотим «упростить себе жизнь» и рассчитать европейский опцион, то дальше построить дерево достаточно просто, так как в случае европейского опциона решение принимается только в последних точках дерева. Поэтому чтобы сместиться влево, к предпоследнему (? — 1-му) ряду клеток, надо взвесить эффекты, полученные в Ь-и ряду дерева, по риск-нейтральной вероятности и продисконтировать полученный взвешенный результат по безрисковой ставке Я/.

Затем таким же способом переходят к году I- 1,1 — 2 и т. д. Дойдя до начальной клетки дерева, мы получим ценность европейского опциона.

Если требуется найти ценность американского опциона, то расчет будет осложнен тем, что теперь уже не только в конечных, но и в каждой промежуточной клетке дерева потребуется принимать оптимальное решение. То есть на каждой стадии надо решать вопрос, стоит ли ничего не делать и отложить опционы на более поздние сроки (т.е. удовлетвориться эффектом, рассчитанным по вышеприведенной формуле), или все-таки исполнить какой-то из имеющихся опционов и получить более значительный по величине эффект. Соответственно американский опцион будет больше или равен европейскому по цене.

Ситуация 6.6. (Продолжение)

Продолжим оценку проекта разработки и внедрения операционной системы АВС-ХР.

Третий этап расчетов состоит в построении дерева опциона. Осуществляется это методом движения от конца бинарного дерева к его началу, т. е. справа налево. В каждое! точке дерева делается выбор из четырех альтернатив:

• • не исполнять никакого опциона, оставить вес как есть;
• • исполнить опцион на развитие;
• • исполнить опцион на сокращение бизнеса;
• • исполнить опцион на ликвидацию и выход из бизнеса.

Выбор осуществляется по критерию максимизации ценности эффекта от исполнения опциона по сравнению с базовым вариантом — оставить все как есть. Если ни один из опционов не дает приращения ценности по сравнению с базовым вариантом, избирается базовый вариант.

В результате получается дерево следующего вида:

Для иллюстрации рассмотрим расчеты, проведенные в точках F1, F9, Е2.

Начинаем с крайнего правого ряда F и будем продвигаться влево. Точка F1

В этой точке ценность бизнеса равна 46,7 млн руб. (см. дерево событий) Эффект от исполнения опциона CALL:

46,7×0,4 — 5 = 13,7 млн руб. (вложение 5 млн руб. в увеличение ценности бизнеса на 40%).

Эффект от исполнения опциона PUT на сокращение бизнеса: 8 млн руб. — 0,25×46,7 = -3,7 млн руб. (высвобождение 38 млн руб. в обмен на потерю 25% бизнеса).

Эффект от исполнения опциона PUT на. ликвидацию бизнеса: 10 млн руб. — 46,7 млн руб. = -36,7 млн руб. Ликвидация бизнеса в обмен на получение LV= 10 млн руб. Эффект от бездействия: 0 млн руб.

Итого: в точке F1 следует исполнить опцион CALL на повышение производительности центра.

Точка F9

В этой точке ценность бизнеса равна 13 млн руб. Эффект от исполнения опциона CALL:

13×0,3 — 5 = -1,1 млн руб. (вложение 5 млн руб. в увеличение ценности бизнеса на 30%).

Эффект от исполнения опциона PUTm сокращение бизнеса:

8 млн руб. — 0,25×13 = 4,75 млн руб. (высвобождение 8 млн руб. в обмен на потерю 25% бизнеса).

Эффект от исполнения опциона PUT на ликвидацию бизнеса:

10 млн руб. — 13 млн руб. = -3 млн руб.

Ликвидация бизнеса в обмен на получение LV= 10 млн руб.

Эффект от бездействия: 0 млн руб.

Итого: в точке F9 следует исполнить опцион PUT па сокращение бизнеса.

Точка Е2

Предположим, мы бы хотели оценить европейский опцион. Тогда значение в каждой из точек ряда Е дерева опциона мы бы определили как средневзвешенную ценность бизнеса двух связанных с ней точек ряда F, продисконтировав полученное число по псевдобезрисковой ставке.

То есть для точки Е2 значение было бы таким:

В случае американского портфеля опционов следует проверять возможность и целесообразность исполнения какого-либо из опционов в каждой из точек дерева. Для примера возьмем снова точку Е2 и посмотрим, какие расчеты в этом случае следует провести.

В этой точке ценность бизнеса равна 39,8 млн руб. согласно дереву событий.

Эффект от бездействия.

Напомним, что 13,7 и 8,6 — это оценки опционов при их исполнении в точках F1 и F3 (см. дерево опциона); 0,06 (или 6%) — безрисковая ставка; 0,653 и 0,347 — риск-нейтральные вероятности.

Полученная цифра 11,2 отражает цену в точке Е2 опционов, отложенных на будущее.

Если опционы не откладывать па будущее, а исполнить в точке Е2, то получим следующие результаты.

Эффект от исполнения опциона CALL:

39,8×0,4 — 5 = 10,9 млн руб. (вложение 5 млн руб. в увеличение ценности бизнеса без опционов на 40%).

Эффект от исполнения опциона PUT иг сокращение бизнеса:

8 млн руб. — 0,25×39,8 = -1,95 млн руб. (высвобождение 8 млн руб. в обмен на потерю 25% бизнеса).

Эффект от исполнения опциона PUT иг ликвидацию бизнеса:

• 10 млн руб. — 39,8 млн руб. = -29,8 млн руб.
• (Ликвидация бизнеса в обмен на получение LV= 10 млн руб.)

Итого: в точке Е2 не нужно исполнять никаких опционов, так как максимальное значение равно 11,2, что отражает альтернативу «ничего не делать» .

Такие расчеты, проведенные в каждой точке дерева опциона позволили для условий данного примера получить точно такое же дерево, как и для европейского комплексного опциона1. В точке А6 алгоритм позволил получить ценность всех опционов с учетом оптимального момента их исполнения 5,1 млн руб.

Таким образом, оценка проекта с учетом управленческой гибкости равна.

APV= NPV+ Vomi = 4 млн руб. + 5,1 млн руб. = 9,1 млн руб.