Теория выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда

Наибольшее распространение из методов принятия статистических решений получил метод, называемый методом выдвижения и проверки гипотез.

Метод возник для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии; базируется на общей теории статистических решающих функций А. Вальда; важным частным случаем теории является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации, процессов общения, обучения и др. в организационных системах.

Идея метода заключается в следующем.

Имеется два векторных пространства — пространство априорной информации и пространство апостериорной информации. Первое из них иногда называют просто пространством информации 5,; второе — пространством восприятия 5 В или пространством решения.

В случае детерминированного (достоверного) восприятия точке х е 5/ соответствует только одна точка х" е 5″.

В случае статистического (вероятностного) восприятия каждой точке .г е 5, соответствует в пространстве 5 В распределение (х / х"), которое называется решающей функцией.

Что собой представляет решающая функция, можно пояснить па примере двуальтернативного решения с событиями х, и х и их априорными вероятностями р, И р.

События Х и х в пространстве 5/ могут представлять собой два состояния точки х: хх — отсутствие точки О, х — наличие точки ®.

В пространстве 5И событиям Х и х соответствуют события х{ и х'2 и условные вероятности р (х')/ хх).

Способы восприятия информации приведены на рис. 3.4.

Условные вероятности р (х[/х) и р (х'2/х) характеризуют случаи правильного восприятия:

• — р (х / х{) — отсутствие точки х в пространстве восприятия 5 В в случае отсутствия ее в пространстве информации 5,;
• — р (х'2/х) — обнаружение точки х в пространстве 5 В в случае наличия ее в пространстве 5/.

Условная вероятность р (х / хх) характеризует восприятие события х при условии, что в пространстве 5/ произошло событие хь т. е. обнаружение точки х в пространстве 5 В в случае ее отсутствия в пространстве 5;. Этот случай называют «ложная тревога» .

Условная вероятность р (х{ /х) характеризует отсутствие точки х в пространстве 5″ в случае ее наличия в пространстве 5,. Этот случай называют «пропуск сигнала» (например, самолет появляется, но его не обнаружили).

Для оценки рассмотренных случаев вводится понятие " функция потерь У" .

В случае правильного восприятия, т. е. при />(. /.{) и р (х/х),

В случае ложной тревоги или пропуска сигнала.

Пользуясь этими оценками потерь, можно ввести понятие условного риска. у

Для случая х{. О—мЭ, а — принятое решение.

так как У (х{/х,) = 0; Х¥(х/ж,) = 1,.

где Д — условный знак, характеризующий возможность отклонения от правильного решения, т. е. условный риск равен вероятности ложной тревоги.

Общий риск (имеют место решения, а и Р):

При решении некоторых задач удобнее оперировать не непосредственно с функционалами, а с их отношениями. В частности, с отношением правдоподобия, представляющем собой отношение функционалов правдоподобия условных вероятностей при наличии и при отсутствии сигнала.

Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем проверки, превышает ли отношение правдоподобия некоторый порог Ь0, т. е. если.

то принимается решение о наличии сигнала. В противном случае принимается решение об отсутствии сигнала.

Рассмотренный случай — это критерий Зигерта — Котельникова, называемый часто критерием идеального наблюдения (минимизируется общий риск).

В теории статистических решений используются также следующие критерии:

• а) критерий Байеса — критерий минимального риска; ищется минимальный риск из нескольких максимальных общих рисков;
• б) критерий минимакса; априорные вероятности неизвестны, и минимизируется значение максимально возможного риска, т. е. ищется ппп Д шах;
• в) критерий Неймана — Пирсона; минимизируется (3 при, а < е;
• г) критерий А. Вальда — последовательный анализ: минимизируется число испытаний п, достаточное для принятия определенного решения. В этом случае производится непрерывный анализ отношения правдоподобия и сравнение его

Р, Иг с двумя порогами, нижним Ц и верхним ¿2 =~^- если Ь (х) < то принимается решение об отсутствии сигнала; а если Ь (х) > Ь, то принимается решение о наличии сигнала; если же Ьх < Ь (х) < Ь, то имеющихся данных недостаточно для принятия решения и испытания продолжаются.

В рассматриваемом примере пространство априорной информации содержит два события, и решающая функция включает четыре апостериорных условных вероятности с соответствующими им функциями потерь. В случае большего объема событий распределение А (х'/х) усложняется. При выборе решающей функции следует руководствоваться возможностью минимизации среднего риска.

Основы общей теории статистических решающих функций разработаны А. Вальдом. Им же предложен общий подход к постановке задачи принятия статистических решений с интерпретацией ее как антагонистической игры.

Проверка гипотез, теория статистических оценок, вопросы планирования эксперимента могут быть рассмотрены в рамках этой теории как частные случаи.

Независимо от теории решающих функций в теории связи развивалась теория потенциальной помехоустойчивости, начало которой положено работами В. А. Котельникова.

Соединившись в работах Д. Миддлтона, эти два направления образовали теоретико-техническую дисциплину — теорию статистических решений, которая занимается разработкой методов раскрытия неопределенности пространства апостериорной информации.