Методика обучения решению задач с помощью векторов

Векторный метод решения задач является новым для учащихся, поэтому необходимо:

• 1) заинтересовать их, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;
• 2) обучать учащихся некоторым эвристикам (системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;
• 3) обучать этому методу на достаточно простых задачах, нс отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.

Следует заметить, что векторный метод не является универсальным, к решению некоторых задач он неприменим или малоэффективен.

Можно выделить следующие эвристики (см. таблицу 15).

Таблица 15.

Цели изучения векторного метода в школе:

1) дать эффективный метод решения различных геометрических задач и доказательства теорем;

• 2) показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике и т. д. — на базе этого формировать у учащихся научное мировоззрение;
• 3) формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Использовать векторный метод в конкретных ситуациях достаточно сложно. Поэтому, прежде всего, необходимо овладеть действиями, составляющими это умение. Анализ решений различных задач приводит к выводу о том, что надо уметь:

• 1) переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот;
• 2) выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов, произведение вектора на число);
• 3) представлять вектор в виде суммы, разности векторов;
• 4) представлять вектор в виде произведения вектора на число;
• 5) преобразовывать векторные соотношения;
• 6) переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;
• 7) выражать длину вектора через его скалярный квадрат;
• 8) выражать величину угла между векторами через его скалярное произведение.

Приведем пример задачи, при решении которой используются выделенные умения.

Задача. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям

Решение задачи будем осуществлять по этапам.

/ этап (перевод задачи на векторный язык).

ABCD — трапеция, AD и ВС — ее основания, MN- средняя линия (рис. 82).

Рис. 82.

AM = МВ и CN = ND.

Чтобы доказать параллельность средней линии основаниям, надо доказать коллинеарность векторов MN и AD или векторов MN и ВС.

II этап (решение задачи на векторном языке).

1) Из четырехугольника MBCN

имеем:

2) Из четырехугольника AMND имеем:

3) Сложим равенства (1) и (2):

Следовательно, MN = ,

4) Так как векторы AD и ВС сонаправлсны, то AD = к ВС.

о к л м к ВС + ВС ВС (к +1) Т7л7 и/ '.

Значит, MN = —- = ---^:. Отсюда следует, что MN и ВС

сонаправлены, а значит, и коллинеарны.

III этап (перевод полученного ответа с векторного языка на геометрический).

Если MN и ВС коллинеарны, то MN || ВС, а так как AD || ВС, то MN || AD и Ш= ^А° ^{+ ВС} .

При решении данной задачи были задействованы следующие умения:

• 1) переводить геометрические термины на векторный язык и наоборот;
• 2) выполнять операции над векторами;
• 3) представлять вектор в виде произведения вектора на число;
• 4) выполнять преобразования векторных равенств.

Эти умения и их совокупности должны формироваться с помощью специальных упражнений. Группы таких упражнений на формирование каждого действия приведены в учебном пособии Г. И. Саранцева «Методика преподавания геометрии в дсвятилстнсй школе» (Саранск, 1992).

Приведем примеры упражнений из каждой группы.

I. Упражнения, в которых осуществляется перевод геометрических терминов на язык векторов и наоборот

• 1. Отрезки ЛВ и CD параллельны. Напишите это соотношение в векторной форме.
• 2. Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС: СВ = т: п. Что означает это на векторном языке?
• 3. Известно, что CD = а ЛВ. Каково геометрическое толкование этого равенства.
• 4. Известно, что АВ + ВС = О. Как расположены точки А_ч В, С?

II. Упражнения на операции с векторами

• 5. Дан вектор АВ. Постройте векторы 2 АВ-^ АВ.
• 6. ABCD — параллелограмм, О = АС nBD. Изобразите векторы: а) АО + СВ; б) АО — DC; в) OD + ~АВ; г) ~AD — ~ВС.

Упражнение 6 выполняется мысленно, нс осуществляя при этом непосредственных построений. Такие упражнения важны, так как применение векторов в конкретных ситуациях чаще требует именно этого.

III. Упражнения на представление вектора в виде суммы (разности векторов, произведения вектора на число)

• 7. Дан многоугольник ABCDE. Представьте AD в виде суммы: а) двух; б) трех; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
• 8. Представьте вектор А В в виде суммы векторов АС, DC, BD .

_ _ c5_

9. Вектор CDколлинеарен вектору АВ и Вырвите один вектор через другой.

IV. Упражнения на переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот

• 10. В каком случае | О А — OB = ОАОВ ?
• 11. Может ли | ~АВ + ~ВС = АВ — ~ВС1
• 12. Векторы ВС, AD, MN коллинеарны. Каково соотношение между длиной векторов MN и суммой длин векторов ВС и AD, если

V. Упражнения на преобразование векторных равенств.

• 13. Упростите выражения: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ+ NM; б) ОРЁР+ KDКА.
• 14. Упростите выражение (а + b — с) (аb + с если вектор Ь перпендикулярен вектору с.
• 15. Четырехугольник ABCD — квадрат. Упростите выражение (АВ — 3 ВС)².

VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами

16. Известно, что с — а + b ,(а, Ь) — 30°, | а = 5 см, | Ъ | = 3 см.

Найдите|с .

17. Известно, что векторы а +2Ь и 5д -4b взаимно перпендикулярны. Какой угол образуют векторы а и b, если | л | = | 6 | = 1 ?

В процессе выполнения этих упражнений вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Векторы эффективны при доказательстве: а) параллельности прямых и отрезков; б) принадлежности трёх точек одной прямой; в) перпендикулярности прямых и отрезков и т. д.

Для того чтобы учащиеся научились решать задачи векторным методом, необходимо, прежде всего, научить их решать опорные задачи, при решении которых непосредственно используются эвристики, представленные в таблице 15.

Историческая справка Считается, что вектор как самостоятельный объект появился в 40-е гг. XIX в., хотя действия с отрезками выполнялись и ранее. Так, представление величин огрезками имело место уже в древнегреческой математике. В «Началах» Евклида изложены основы древнегреческого геометрического исчисления. Сложение величин сводилось к сложению отрезков, умножение величин — к построению прямоугольника на соответствующих отрезках, деление — к операции «приложения» геометрических фигур. Также ненаправленными отрезками оперировал Декарт. Но уже немецким ученым Г. Лейбницем была выдвинуга идея построения векторного исчисления, близкого к современному. В XVI — XVII вв. Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил в физике и астрономии. Так поступал и Симон Стевин, который, изучая равновесие тел на наклонной плоскости, дошел до разложения силы на составляющие и открыл закон параллелограмма сил. Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятие векторной величины, а идея алгебраических действий с направленными огрезками лишь зарождалась. Развитие настоящего векторного исчисления относится к XIX в.

Г. И. Глейзер в работе [6] выделил три направления развития векторного исчисления: геометрическое (исчисление отрезков), физическое (исследование векторных величин, встречающихся в естествознании), алгебраическое (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Развитие первого направления связано с именем Каспара Весселя (Норвегия). Векторная алгебра на плоскости (двумерное векторное пространство) построена им почти так же, как она излагается в современных учебниках. Отрезки, имеющие любое направление, были введены Л. Карно (Франция, 1803), он же занимался и действиями с направленными отрезками, позже его идеи были систематизированы немецким математиком А. Мебиусом. У Карно отсутствует систематическое исчисление направленных отрезков, содержащееся у Весселя. Однако главный труд последнего «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях» нс оказал никакого влияния на развитие векторного исчисления, так как на протяжении целого столетия ученые не обращали на него внимания, в то время как понятие геометрического количества Карно, под которым он понимал в основном направленный отрезок, стали употреблять передовые математики уже в самом начале XIX в. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху (АВ, С), сохранились и в наши дни.

Наиболее значительный вклад в развитие векторного исчисления внес ирландский математик У. Гамильтон в связи с изложением теории комплексных чисел и учения о кватернионах (1853). Именно Гамильтон стал применять понятия «вектор», «скаляр» (от латинского skala — лестница; подобно ступенькам лестницы можно упорядочить действительные числа, вводя понятия «больше» и «меньше», но не комплексные числа, не векторы), «скалярное произведение», «векторное произведение». Независимо от Гамильтона к аналогичным результатам пришел и немецкий ученый Г. Грассман. В 1844 г. в работе «Учение о протяженности» он впервые излагает учение об w-мерном евклидовом пространстве. Вместо терминов «скалярное произведение», «векторное произведение» он использует соответственно «внутреннее» и «внешнее». Векторы Грассман обозначал жирными буквами латинского алфавита. Принятое сейчас обозначение вектора г ввел в 1853 г. О. Коши, а единичные векторы /,_/, к в том же году Гамильтон.

Систематически применял векторное исчисление для потребностей естествознания Дж. Максвелл, а современный вид векторному исчислению придали в конце XIX в. американский физик Дж. Гиббс и английский физик О. Хевисайд.

Систематическое изучение векторов и координат в курсе геометрии основной школы началось в последней трети XX в. в учебниках А. II. Колмогорова. Изложение учебного материала осуществлялось в них на основе идеи геометрических преобразований, поэтому вектор вводился как параллельный перенос, координатный метод в основной школе не изучался (вводились только координаты вектора), этот вопрос подробно рассматривался в старшей школе (в учебниках 3. А. Скопеца).