Типовые примеры. 
Статистика

Пример 5.1. Известна информация о стоимости страховых сумм на одного человека в год в 320 страховых компаниях (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Стоимость страховых сумм 320 страховых компаний для примера 5.1.

Осуществите расчет основных характеристик вариационного ряда, выравнивание по кривой нормального распределения, проверку по основным критериям согласия.

Решение

Имеющаяся информация о стоимости страховых сумм на одного человека в год в 320 страховых компаниях представляет собой интервальный вариационный ряд распределения (табл. 5.2), где стоимость страховых сумм — изучаемый признак в виде интервала, а количество страховых компаний — частота (вес) признака. Осуществим расчет накопленных частот в гр. 2 табл. 5.2.

Таблица 5.2

Вариационный ряд распределения

Далее рассчитаем характеристики вариационного ряда. Осуществим расчет вспомогательных значений для определения среднего значения стоимости страховых сумм в гр. 2, 3 табл. 5.3.

Таблица 5.3

Расчет среднего значения ряда распределения

Среднее значение интервального ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Средняя стоимость страховых сумм на одного человека в год в одной компании, но договорам страхования за изучаемый период составляет 4,54 тыс. руб.

Определим модальный интервал: так как наибольшая частота в гр. 1 табл. 5.2 составляет 88 страховых фирм, то модальный интервал будет от 4,5 до 5,5. Мода составит.

Наиболее часто встречающееся значение стоимости страховых сумм — 4,85 тыс. руб.

Определим медианный интервал (интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений): половина изучаемой совокупности представляет собой 160 страховых фирм, последняя из которых находится в интервале от 4,5 до 5,5, являющимся медианным интервалом (см. гр. 2 табл. 5.2). Медиана составит.

В одной половине исследуемых страховых компаний стоимость страховых сумм на одного человека в год находится ниже 4,65 тыс. руб., а в другой половине — выше.

По соотношению х~Ме~Мо можно сделать предварительный вывод, что изучаемое распределение близко к нормальному закону распределения.

В четверти всех страховых компаний стоимость страховых сумм на одного человека в год колеблется от 0,5 до 3,45 тыс. руб.

Третья квартиль:

В 75% всех страховых компаний стоимость страховых сумм на одного человека в год колеблется от 0,5 до 5,61 тыс. руб.

Необходимые для определения основных характеристик вариационного ряда величины приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Расчет вспомогательных величин для характеристики вариационного ряда.

Размах вариации:

Среднее линейное отклонение (взвешенное):

Амплитуда колебаний стоимости страховых сумм на одного человека в год составляет 1,35 тыс. руб.

Среднее квадратичное отклонение (взвешенное):

В среднем варианты стоимости страховых сумм на одного человека в год отклоняются от среднего значения на 1,67 тыс. руб.

Дисперсия (взвешенная):

Средний квадрат отклонений стоимости страховых сумм па одного человека в год от их средней величины составляет 2,79 тыс. руб.

Коэффициент осцилляции:

Относительная колеблемость крайних значений стоимости страховых сумм на одного человека в год вокруг средней велика, следовательно, высока вариация признака. Линейный коэффициент вариации:

Доля усредненного значения абсолютных отклонений стоимости страховых сумм на одного человека в год от средней величины составляет 29,7%.

Коэффициент вариации:

Так как 36,7 > 33, совокупность неоднородная, коэффициент вариации высокий.

Коэффи циент ас и м м етр и и:

As < 0, значит, асимметрия левосторонняя.

Ех < 0, следовательно, эксцесс распределения — низковершинный.

Эмпирическое распределение изобразим графически с помощью гистограммы распределения на рис. 5.5.

Стоимость страховых сумм на одного человека в год, тыс. руб.

Рис. 5.5. Гистограмма распределения стоимости страховых сумм на одного человека в год в 320 страховых компаниях

Осуществим выравнивание по теоретической кривой нормального распределения.

Теоретические частоты для распределения определим в гр. 3 табл. 5.5 по формуле.

Расчет теоретических частот вариационного ряда.

Критерий согласия Пирсона:

Определим табличное значение критерия Пирсона:

Так как расчетное значение критерия согласия Пирсона меньше его табличного значения, то расхождение между фактическим и теоретическим распределениями случайно, а распределение хорошо согласуется с законом нормального распределения.

Критерий согласия Романовского:

Имеем К_р< 3, значит, расхождение между фактическим и теоретическим распределениями случайно.

Критерий согласия Колмогорова:

Имеем Р (Х) = 0,5441. Следовательно, с достоверностью 54,41% можно утверждать, что гипотеза о нормальном распределении не отвергается, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Построим эмпирическое и теоретическое распределения графически (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Эмпирическое и теоретическое распределения стоимости страховых сумм на одного человека в год в 320 страховых компаниях.

Пример 5.2. Известна следующая информация о распределении клиентов туристической фирмы (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Распределение клиентов по числу посещений туристической фирмы для примера 5.2.

Осуществите построение кумуляты для дискретного ряда.

Решение

Построение кумуляты для дискретного ряда осуществим на основе ряда накопленных частот: по оси абсцисс откладываем значения признака — количества посещений, по оси ординат — накопленные частоты (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Кумулята распределения клиентов по числу посещений туристической фирмы

Пример 5.3. Известна информация о распределении путевок в туристической фирме в зависимости от затрат времени на поездку (табл. 5.7).

Таблица 5.7

Распределение путевок в зависимости от затрат времени

на поездку

Осуществите расчет частостей, абсолютной и относительной плотностей, накопленной частоты и постройте кумуляту для интервального ряда.

Решение

Расчет частостей, абсолютной и относительной плотностей, накопленной частоты осуществим в табл. 5.8 соответственно в гр. 2,4, 5 и 6. Построение кумуляты для интервального ряда осуществим на основе ряда накопленных частот: по оси абсцисс откладываем значения признака — затраты времени в пути до турбазы, по оси ординат — накопленные частоты (рис. 5.8).

Таблица 5.8

Расчет параметров

Рис. 5.8. Кумулята распределения путевок в зависимости от затрат времени на поездку

Пример 5.4. Выполним выравнивание эмпирических частот, приведенных в табл. 5.9, по нормальному закону.

Таблица 5.9

Эмпирические частоты для примера 5.4.

Решение

Для вычисления х используется формула взвешенной.

П

_ 1292.

средней арифметической х = ^-= = 9,2. Для расчета ст.

• 1=1
• (^xi ~ х)² I 12 200 7

используется формула о, ^-= .-— =3,96.

^J * ^{1 J} f,/ * ¹⁴⁰

1 i=l.

Имеем N = 100; h_k= 10.

Расчет теоретических частот осуществим в табл. 5.10.

Таблица 5.10

Выравнивание эмпирических частот по нормальному закону.

Эмпирические и теоретические частоты распределения изобразим графически на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Выравнивание эмпирических частот по закону нормального распределения.

Пример 5.5. Проведем выравнивание эмпирических частот, приведенных в табл. 5.11, но закону Вейбулла.

Таблица 5.11

Эмпирические частоты для примера 5.5.

Решение

t (Xi-x)²/

Имеем JV = 140;/?(, = 2; J = —-= 9,2; a… = —-= 3,96;

' «' п B3 _i n.

I/, V X/,.

f-i 1 1=1.

V = 43,0% (для расчета используется формула У). При х.

У = 0,43 по таблицам параметров и коэффициентов распределения Вейбулла находим b = 2,5 и /<�С_В = 0,89.

Определим значение параметра распределения:

Необходимые для расчета величины приведем в табл. 5.12.

Таблица 5.12

Выравнивание эмпирических частот по закону Вейбулла.

Эмпирические и теоретические частоты распределения Вейбулла изобразим графически на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Выравнивание эмпирических частот по закону Вейбулла.

Пример 5.6. Проведем выравнивание эмпирического распределения (табл. 5.13) по экспоненциальному закону.

Таблица 5.13

Эмпирические частоты для примера 5.6

Решение

Имеем N =77; h_k = 36; х = 69,43.

Рассчитанные величины приведем в табл. 5.14.

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону.

Эмпирические и теоретические частоты экспоненциального распределения изобразим графически на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Выравнивание эмпирических частот, но экспоненциальному закону.

Пример 5.7. Выполним выравнивание статистического ряда (табл. 5.15) по закону Пуассона с параметрами х = а = 0,63 (следовательно, е~^а = 0,5326); N = 400.

Таблица 5.15

Эмпирические частоты для примера 5.7.

Решение

Рассчитанные величины приведем в табл. 5.16.

Таблица 5.16

Выравнивание эмпирических частот по закону Пуассона.

Эмпирические и теоретические частоты распределения Пуассона изобразим графически на рис. 5.12.

Пример 5.8. Применим критерий согласия Ястремского для проверки гипотезы о нормальном законе распределения для данных, приведенных в табл. 5.17.

Таблица 5.17

Эмпирические частоты для примера 5.8.

Рис. 5.12. Выравнивание эмпирических частот по распределению Пуассона

Решение

Поскольку в формуле расчета критерия согласия Ястремского применяется критерий согласия Пирсона, осуществим его расчет в табл. 5.18.

Таблица 5.18

Расчет величин для определения критериев согласия Пирсона и Ястремского

Критерий согласия Ястремского:

Эта величина меньше 3, следовательно, расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайны.

Пример 5.9. Применим критерий согласия Колмогорова для проверки гипотезы о законе распределения Вейбулла для данных, приведенных в табл. 5.19.

Таблица 5.19

Эмпирические частоты для примера 5.9.

Решение

Рассчитанные величины приведем в табл. 5.20.

Таблица 5.20

Расчет критерия согласия Колмогорова.

Г) 8 290.

При D = 8,290 X = —j= = — = 0,69. Согласно таблице дан- 4п V145.

ное значение X находится между вероятностями 0,7112 и 0,7920, следовательно, при вероятности от 0,7112 до 0,7920 расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами несущественны.