Свойства операции пересечения множеств

1. Коммутативность: А п В = В п А.

Обосновать это свойство очень просто. Любой элемент, принадлежащий общей части множеств А и В, т. е. А п В, принадлежит общей части множеств В и А, т. е. В п А, и наоборот.

2. Ассоциативность: А п (В п С) = (А п В) п С.

Докажем это свойство. Нам нужно доказать, что множество в левой части равенства равно множеству в правой части равенства. По определению равенства множеств нужно показать, что А п (В п С) с (А п В) n С, т. е. любой элемент х, принадлежащий А п (В п С), принадлежит и множеству (А п В) п С, а также, что (А п В) п С с А п (В n С), т. е. любой элемент у, принадлежащий (А п В) n С, принадлежит А п (В п С).

• 1) Пусть х — произвольный элемент из множества А п (В п С), т. е. х е е А п (В n С). По определению пересечения множествхе, А ихе В п С, а значит, хе А, ихе В, ихе С, т. е. х принадлежит общей части трех множеств А, В и С. Это значит, что х е, А п В ихе С, т. е. х е (Л п В) п С.
• 2) Пусть у — произвольный элемент множества (Ап В) п С, т. е. уе (Ап пВ) пС. По определению пересечения у е АпВ и у е С, т. е. у е А, и у е В, и у е С. Следовательно, у е А и у е (В п С), т. е. у е, А п (В п С). Свойство доказано.

Это свойство можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера — Венна (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Иллюстрация доказательства свойства ассоциативности

• 3. А п U = A.
• 4. Идемпотентность пересечения А пА = А.