Степенные ряды. 
Основные свойства числовых рядов

Степенным рядом называется функциональный ряд вида.

.

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции.

Более общий вид степенного ряда:

и.

являются степенными, а ряды.

и.

функциональные, но не являются степенными.

Теорема 2.1 (Абеля).

Если степенной ряд.

сходится в некоторой точке, то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Так как точка сходимости ряда (2.2), то числовой ряд.

сходится. Тогда. Следовательно, можно найти такое положительное число M, чтобы для любого номера n выполнялось условие.

.

Ряд (2.2) является в общем случае знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, возьмем ряд из абсолютных величин его членов.

.

который перепишем в виде.

Возьмем для сравнения ряд.

.

являющийся при абсолютно сходящимся (ряд геометрической прогрессии со знаменателем). Используя неравенство (2.5), будем иметь. последовательность дифференциальный уравнение радиус.

.

По признаку сравнения ряд (2.7) сходится, тогда и ряд (2.6) сходится при .

Следовательно, при указанных значениях аргумента ряд (2.2) сходится абсолютно. #.

Следствие. Если степенной ряд расходится в точке x1, то он расходится и при всех x, для которых .

Действительно, если бы ряд сходился в точке, для которой, то по теореме Абеля он сходился бы при всех x, для которых, следовательно, и в точке x1, что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует:

Существует такое неотрицательное число R, что при всех ряд (2.2) расходится, а при — сходится абсолютно.

Множество значений переменной x, удовлетворяющих соотношению, называется интервалом сходимости степенного ряда.

Число (2.2) называется радиусом сходимости степенного ряда.

Возможны случаи:

• 10. Если R = 0, то ряд (2.4) сходится только в точке x = 0.
• 20. Если R =, то ряд (2.4) сходится на всей числовой оси.
• 30. Если 0 < R <, то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0, т. е. (-R;R).

Замечание. Сходимость степенного ряда (2.2) на концах интервала сходимости, т. е. в точках и исследуется отдельно непосредственной подстановкой значений в степенной ряд.

Областью сходимости степенного ряда (2.2) называют промежуток.

или, или .

Теорема Абеля была доказана для ряда, записанного по степеням x.

Степенной ряд общего вида (2.3):

может быть приведен к виду ряда (2.2), если принять .

Геометрически это соответствует перенесению начала координат на числовой оси из точки x = 0 в точку. Соответственно, интервал сходимости ряда (2.3) будет иметь вид.

.

Интервал сходимости ряда (2.3) симметричен относительно точки .

Определение радиуса сходимости степенного ряда Рассмотрим степенной ряд (2.2).

и воспользуемся приведенными в п. 2.1 рассуждениями.

Ряд (2.2) является знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, составим ряд из абсолютных величин его членов (2.6).

Обозначим .

10. По признаку Даламбера, для сходимости ряда должно выполняться условие.

.

.

откуда получим.

.

Обозначим.

.

где R — радиус сходимости степенного ряда (2.6), тогда — интервал сходимости степенного ряда (2.2).

20. По радикальному признаку Коши, для сходимости ряда должно выполняться условие.

.

.

откуда получим.

.

Таким образом.

является радиусом сходимости степенного ряда (2.2).

Радиус сходимости степенного ряда.

Пример 2.2. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;

• б) .
• а)

Определим радиус сходимости ряда, используя формулу.

; ,.

.

Следовательно, интервал сходимости ряда .

Исследуем ряд в граничных точках интервала сходимости.

1. При исходный степенной ряд примет вид:

.

Полученный знакоположительный ряд исследуем по предельному признаку сравнения. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом .

Вычислим.

.

тогда, согласно предельному признаку сравнения, и ряд.

— расходится. Следовательно, при степенной ряд.

расходится.

2. При получим числовой ряд.

.

Это знакочередующийся ряд, для исследования сходимости применим признак Лейбница:

1) ;

2) ,.

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин.

.

Ряд расходится (показано выше).

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов — расходится, следовательно, знакочередующийся ряд — сходится условно, а — точка условной сходимости степенного ряда.

.

б).

Определим радиус сходимости степенного ряда, используя формулу (2.10).

.

.

Так как, , то интервал сходимости будет иметь вид.

.

Рассмотрим сходимость степенного ряда в граничных точках интервала сходимости ряда.

При, получается расходящийся числовой ряд.

.

При также получается расходящийся числовой ряд:

.

Окончательно, область сходимости исходного степенного ряда —, совпадает с интервалом сходимости ряда.

Пример 2.3. Найти область сходимости степенного ряда.

.

Данный ряд является неполным степенным рядом, так как отсутствуют слагаемые с нечетными степенями, поэтому интервал сходимости находят, непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши), для ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:

.

По признаку Даламбера:

,.

.

Знакоположительный ряд будет сходиться, если.

.

т.е. ,.

.

Тогда и исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (3;5).

Исследуем сходимость степенного ряда в граничных точках.

1. При получим числовой ряд.

.

который сходится — обобщенный гармонический ряд,. Следовательно, — точка сходимости степенного ряда.

2. При из ряда получим.

.

т.е. — точка сходимости степенного ряда.

Таким образом, областью сходимости ряда будет отрезок [3;5].

Основные свойства степенных рядов.

• 10. Степенной ряд сходится в точке. (Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в ряд).
• 20. Сумма степенного ряда

есть функция, непрерывная в интервале сходимости этого ряда.

• 30. Степенные ряды и, имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости суммы, разности и произведения рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.
• 40. Ряд (2.2) можно почленно дифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

50. Степенной ряд (2.4) можно почленно интегрировать на любом отрезке .

.

Пример 2.4. Найти сумму ряда.

Обозначим сумму этого ряда через S (x):

Интервал сходимости этого ряда (-1;1). На основании свойства 40 его можно почленно дифференцировать в каждой точке данного интервала:

Справа в этом равенстве — сумма геометрической прогрессии.

Если, то ,.

откуда при .

Зная, что, имеем.

С = 0.

.