Моделирование в процессе решения текстовых задач в курсе начальной математики

«Текстовая задача — описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения» — по утверждению Л. П. Стойловой [13, с.147].

Автор дает характеристику задаче так: «Любая текстовая задача состоит из двух частей — условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме [13, с.158].

Значит, ученик должен, прежде всего, осознать, что такое текстовая задача. И целью подготовительного периода является возможность показать перевод различных реальных явлений на язык математических символов и знаков.

При введении термина «задача» следует опираться на разные упражнения с той целью, чтобы показать отличие задачи от упражнений, которые они выполняли по картинке. Используемая наглядность при решении текстовых задач не будет давать возможность учащимся ответить на вопрос, прибегая к пересчитыванию, а поставит их в условия необходимости выбора арифметического действия.

Н.Б.Истомина, разрабатывая методику обучения младших школьников решению задач, указывает: «Работа по формированию умения решать текстовые задачи начинается с первых дней обучения в школе. Первые шаги при решении простых задач не вызывают у учащихся затруднений. Но самостоятельное решение составных задач оказывается не по силам многим, и от класса к классу эти учащиеся испытывают всё большие трудности. Причина возникающих затруднений состоит в том, что у учащихся не сформировано в значительной степени умение анализировать текст задачи, правильно выделять известное и неизвестное, устанавливать взаимосвязь между ними, которая является основой выбора действия для решения текстовой задачи» [6, с.103].

Существуют различные методические подходы к процессу формирования умения решать текстовые задачи при обучении математике младших школьников.

Один из таких подходов — формирование у учащихся умения решать задачи определённого вида (например, решение задач на разностное сравнение и т. д., когда отрабатывается определённый вид задач).

Другой основан на применении семантического и математического анализа текстовых задач, когда задача разбирается от данных к цели (синтетический способ) и от цели к данным (аналитический способ).

Третий подход основан на методе решения учебных задач. Формирование действия моделирования, общих методов решения учебных задач, предполагает качественно иное формирование умения решать текстовые задачи.

Арифметические и алгебраические задачи в литературе ещё называют сюжетными, т.к. в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по-другому (предметно, графически, с помощью таблиц, формул и т. д.), а это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования.

Поэтому в работе над задачами мы считаем нужно уделяют большое внимание построению схематических и символических моделей, а также умению работать с отрезками, графически моделировать с их помощью текстовую задачу, ставить вопрос, определять алгоритм решения и поиска ответа.

Младший школьник, как известно не обладает достаточным уровнем абстрактного мышления. И, задача учителя заключается как раз в том, чтобы поступательно научить его представлять конкретные объекты в виде символической модели, помочь ему научиться переводить текстовую задачу на математический язык. Мы считаем, что именно графическое моделирование текстовой задачи позволяет младшему школьнику полно и конкретно представить текст задачи и, что самое важное, даёт реальную возможность наглядно увидеть и определить алгоритм её решения, осуществить самостоятельную рефлексию выполненного задания.

Но не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для её дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения для ответа на вопрос.

Решение любой задачи арифметическим способом связано с выбором арифметического действия, в результате выполнения которого можно дать ответ на поставленный вопрос. Чтобы облегчить поиск математической модели необходимо использовать вспомогательную модель.

Для воссоздания ситуации в условии задачи можно использовать схематический чертёж, который обеспечивал бы переход от текста задачи к соотнесению определённого арифметического действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приёма работы над задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна лишь в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы.

Следовательно, процесс решения любой задачи, в том числе и текстовой, можно анализировать с разных позиций. Так весь процесс можно рассматривать как процесс последовательного перехода от одной модели задачи к другой (например, как переход от словесной модели в виде текста к образной модели, а от нее к схематизированной, а затем символической, построенной с помощью математической символики).

Многие методисты берутся описывать работу по моделированию задачи. Для эффективного обучения моделированию задач С. В. Царевой сформулированы следующие условия, которые необходимо соблюдать в этом процессе:

• 1) все математические понятия, используемые при решении задач, должны изучаться с помощью моделей;
• 2) должна вестись работа по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель (при этом ученик должен осознавать значение каждого элемента модели, осуществляя переход от реальности (от предметной модели к графической модели, и наоборот) [14, с.15].

Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели как мощного орудия познания.

Текстовая задача — это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, то есть построить её математическую модель.

Математическая модель — это описание какого-либо реального процесса на математическом языке [4, с.118].

В процессе решения задачи чётко выделяются три этапа математического моделирования:

• 1 этап — это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;
• 2 этап — внутримодельное решение (то есть нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);
• 3 этап — интерпретация, то есть перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, то есть 1 этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели — схемы, таблицы и другие. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и так далее); от неё — к математической, на которой и происходит решение задачи.

Приём моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект.

Рассмотрим виды моделей, используемые при решении текстовых задач в начальной школе.

Рисунок начинают применять уже в 1 классе. Во-первых, рисование — любимый вид деятельности малышей, во-вторых, приём хорош для развития моторики рук, в-третьих, рисование является развивающим упражнением [16, с. 79].

С краткой записью начинают работать в конце 1-го класса, т.к. ученики уже способны записать текст. Удачным может быть введение краткой записи параллельно с рисунком.

Таблицу чаще используют при решении задач с процессами купля-продажа, движения, работа, нахождением целого по части и количеству частей.

Чертёж применяют тогда, когда числовые данные в задаче позволяют демонстрировать их на отрезке заданной длины.

Схема используется со 2-го класса. Учащиеся в этот период времени владеют простейшими умениями вычерчивания геометрических фигур. Подбор задач в этом классе позволяет применять эту модель на материале обратных задач, при решении задач разными способами.

Рассмотрим методику работы с некоторыми моделями с помощью метода беседы.

Рисунок должен изображать реальные предметы (кубики, платки, яблоки и т. д.), о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур.

Например: Когда с полки сняли 2 книги, там осталось 4. Сколько книг лежало на полке сначала?

Учитель: Сколько книг осталось на полке?

Ученик: Четыре.

Учитель: Изобразим это с помощью прямоугольников.

Учитель: Раньше книг было больше или меньше? Почему?

Ученики: Больше. Здесь нет книг, которые сняли с полки.

Учитель: Знаем ли мы, сколько книг было сначала? Нет. Покажем это скобкой или дугой и вопросительным знаком.

Учитель: Почему книг стало меньше?

Ученики: С полки сняли две книги.

Учитель: Изобразим две книги внизу, под скобкой.

Учитель: Как узнать, сколько всего книг было на полке?

Ученики: Нужно сложить книги, которые остались на полке, и те, которые сняли.

Следующим шагом в работе над этой задачей будет составление новой модели — это краткая запись и таблица. Краткая запись — представление в лаконичной форме содержание задачи, выполненное с помощью опорных слов.

Было — ?

Подарила — 2к.

Осталось — 5к.

При работе над знаковой (словесной) моделью ведется работа над словами, использованными при формулировке текста задачи. Слово «подарила» говорит младшему школьнику о том, что количество книг уменьшилось, значит, нужно производить вычитание. Так в сравнении дети видят, какая из моделей позволяет проследить за количественными изменениями в задаче.

Наиболее удачно можно применять таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин: цена — количество — стоимость; расход на 1 шт.- количество штук — общий расход; масса — количество — общая масса; скорость — время — расстояние; и т. д.

Например: Из двух городов, расстояние между которыми равно 1200 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 часов, а другой — за 30 часов. Через сколько часов поезда встретятся?".

При решении задач на движение, учителя часто используют схематический чертёж.

Однако такой чертёж может направить ученика по неверному пути, так как два времени могут подтолкнуть ребёнка к сложению соответствующих чисел, а затем к делению расстояния на полученный результат. Поэтому целесообразнее использовать таблицу.

После того как найдены скорости поездов, нужно выполнить схематический чертёж с целью осознания учащимися сути второй части задачи:

Рис. 1.

Данный чертёж даёт возможность учащимся представить и осознать задачную ситуацию, что, в свою очередь, помогает понять и закончить решение, которое является математической моделью, а конкретно арифметической (запись решения выражениями, по действиям):

• 1)60 + 40 = 100 (км/ч)
• 2) 1200: 100 = 12 (ч)

Уже во втором классе дети могут составить модель задачи, используя таблицу, и выявить смысл рассматриваемой ситуации в содержании задачи, выделить все данные и искомые:

Опираясь на данную модель, путь решения задачи легко находится в процессе рассуждений как синтетическим путем «от данных к вопросу», так и аналитическим «от вопроса к данным».

Рассуждая «от данных к вопросу», получим схему, которую называют моделью поиска решений данной задачи. Рассуждая «от вопроса к данным (блок-схема) модель будет иметь другой вид (рис. 1).

Рис. 1.

Схема — это чертёж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба, Например: Из двух кусков ткани сшили 18 одинаковых занавесок. В первом куске было 30 метров, во втором — 24 метра. Сколько занавесок сшили из каждого куска?

Обычно условие записывают в таблицу:

Однако по этой модели рассуждение у детей вызывает затруднение. Детям трудно увидеть, что нужно знать для определения расхода ткани на одну занавеску. Учитель … рекомендует использовать такую схему [, с.].

Понимание процесса, рассматриваемого в задаче, облегчается тем, что на схеме один и тот же отрезок изображает и сумму длин двух кусков ткани — (30 + 24) в метрах, и 18 занавесок, которые из нее сшили.

Чертёж применяют, если числовые данные в задаче удобны для этого, позволяют начертить отрезок заданной длины в масштабе. Ученики должны усвоить поэтапное выполнение чертежа.

Например: Когда шланг длинной 5 метров удлинили на несколько метров, то получился шланг длиной 8 метров. На сколько метров удлинили шланг?

Рассмотрим поэтапную работу в беседе с учащимися.

Учитель: Какой длины был сначала шланг?

Ученики: 5 метров.

Учитель: Какой длины вычерчиваем первый отрезок?

Ученики: 5сантиметров.

Учитель: Что произошло со шлангом?

Ученики: Увеличился на несколько метров.

Учитель: Как изменится отрезок?

Ученики: Увеличится на несколько сантиметров.

Учитель: Какой длины стал шланг?

Ученики: 8 метров.

Учитель: Какой длины станет наш отрезок?

Ученики: 8 сантиметров.

Учитель: Отметим на чертеже, на сколько увеличился наш отрезок.

Учитель: Что нужно узнать в задаче? Как на нашей модели отмечено искомое?

Далее выбирается арифметическое действие.

Приведем еще один пример задачи, при решении которой составляется чертеж.

Например: У Васи 2 машинки, а у Коли в 3 раза больше, чем у Васи. Сколько машинок у Коли?

Чертёж имеет такой вид:

Затем выбирается арифметическое действие для решения: 2 Ч 3 = 6 (м.).

Итак, моделирование в обучении математике служит методическим приемом, а именно приемом формирования у учащихся математических понятий и привития им умений выполнять математические действия, а также использования моделей как внешних опор для организации мыслительной деятельности, в том числе при решении текстовых задач. Решение любой задачи арифметическим методом связано с выбором арифметического действия, в результате выполнения которого можно дать ответ на поставленный вопрос. Чтобы облегчить поиск математической модели необходимо использовать вспомогательные модели различных видов.

Выводы по 1 главе Таким образом, опираясь на методические источники, которым мы дали анализ, нами были сделаны следующие выводы.

• 1. Можно смело утверждать, что задачи, решаемые школьниками в младших классах, занимают одно из важнейших мест в их обучении.
• 2. Текстовая задача — это математическая задача, которая по своей структуре имеет условие и вопрос. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.
• 3. Учитель начальных классов должен сформировать навык у учащихся решения задач. Этого требует программа. А для качественного решения этой проблемы необходимо применять наиболее эффективную методику работы — методы и приемы организации учебной деятельности.
• 4. Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (выбору или конструированию) моделей для определенных целей.
• 5. Математическая модель — это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.
• 6. Для учебных моделей характерны следующие особенности, которые проявляются, в том числе в моделях графических:
  • — наглядность данных моделей;
  • — возможность сохранять информацию для дальнейшего изучения преобразования;
  • — организация внутренней психической деятельности учеников;
  • — указание способов организации действий учащихся;
  • — открытие нового знания, скрытого при поверхностном анализе объекта исследования.
• 7. Существуют различные виды моделей: словесные — высказывательная форма (утверждения, требования),
• — вспомогательные — схематизированные (вещественные, графические), знаковые,
• — математические (арифметический метод, алгебраический метод).

Каждый из этих видов имеет другие подвиды: вещественные — это действия с предметами, инсценирование, представление; графические — рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж, схема; знаковые — краткая запись, таблица; арифметический метод — выражение, запись по действиям (с пояснением и без), с записью вопросов; алгебраический метод — уравнение, система уравнений.

8. Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели.