Текстовые задачи в начальном курсе математики

В настоящей главе раскрывается сущность понятия «текстовая задача», описывается ее структура, приводится классификация задач по разным основаниям, дается характеристика этапам обучения решать текстовые задачи. Также рассмотрены примеры дифференцирования задач по уровню их сложности.

Понятие «текстовая задача» и ее структура

С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса, воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т. п.), задачи определенных коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы, установление связей и зависимостей и др.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями.

К решению разноплановых жизненных задач школьников начинают готовить уже в младшем школьном возрасте в процессе обучения математике.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые или закрепляют, углубляют и систематизируют уже имеющиеся математические знания. Обучающая функция текстовых задач может быть продемонстрирована задачами, в которых.

• · раскрывается конкретный смысл арифметических действий,
• · вводятся рациональные приемы вычислений и соответствующие им правила,
• · выполняются табличные или внетабличные вычисления,
• · используются соотношения между различными единицами измерения величин и т. д.

Более того, существующие межпредметные связи начального курса математики с другими учебными дисциплинами позволяют отработать умение читать, повторить грамматические нормы (правописание словарных слов, применение изучаемых правил орфографии, правил сокращения слов и т. д.).

Задачи выполняют развивающую функцию по отношению к учащимся младших классов. В процессе решения текстовых задач отрабатываются умения.

• · выполнять операции анализа и синтеза, абстрагирования и конкретизации,
• · проводить рассуждения по аналогии,
• · обобщать способы решения типовых задач
• · находить признаки абстрактных математических понятий в реальных объектах и, следовательно, устанавливать связь теоретических знаний в области математики с жизнью.

Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся:

• · прививается культура мышления, общения и выражения собственных мыслей,
• · вырабатывается умение слушать мнение учителя и одноклассников, анализировать и оценивать услышанное,
• · вырабатывается аккуратность в ведении записей,
• · расширяется кругозор,
• · воспитывается чувство коллективизма среди школьников и т. д.

Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами и передавал эти знания своим ученикам.

Проблема решения и чисто математических задач, и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна. Однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой).

Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют задачи научные (например, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых (школьников, слушателей курсов, студентов и др.) и направлены на изменение качеств личности обучаемого (не знал — знаю, не умел — умею и т. п.).

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т. п.), в других объектами являются реальные объекты (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т. д.) или их свойства и характеристики (количество, возраст, скорость, производительность, длина, масса и т. п.). Задачи, все объекты которых математические (доказательства теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т. д.), часто называют математическими заданиями.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т. д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».

Классификация задач по различным основаниям приведена в таблице № 1.

Таблица № 1.

Классификации задач по различным основаниям.

Текстовая задача — описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения [29].

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики [8].

Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии [8].

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием (или условиями) задачи. В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значение которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин — искомыми, или неизвестными.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, т. е. построить высказывательную модель задачи.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу;

Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи;

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин.

Каждая задача — это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое. Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.

Рассмотрим задачу: «На тракторе „Кировец“ колхозное поле площадью 600 га можно вспахать за 10 дней, а на тракторе „Казахстан“ — за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано это поле?».

В приведенной задаче имеется несколько величин, часть из которых известна (площадь поля, время работы каждого трактора в отдельности), часть неизвестна (производительности тракторов в отдельности и совместно, время совместной работы тракторов). Все неизвестные величины будут определены в процессе решения задачи, хотя соответствующие требования не сформулированы. Искомым является единственное требование о вычислении времени совместной работы тракторов, поскольку именно оно заключено в требовании задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть такую, которая не нужна для выполнения требования задачи. Например: «Маша купила 6 кг яблок, а ее подруга Света на 3 кг больше. Сколько заплатила Маша за свою покупку, если 1 кг яблок стоит 35 рублей?».

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 метра» — недостаточно данных для ответа на её вопрос. Чтобы выполнить эту задачу, необходимо её дополнить недостающими данными.

Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности школьников, например, таких как интеллектуальные возможности и интересы учащегося, степень новизны и т. д. По трудности можно выделить три типа задач:

1. Задачи, решение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий. Степень трудности данных задач связана с тем, насколько сложным является навык воспроизведения действий и насколько он прочно освоен. Последний фактор становится основным. Чем более прочны навыки у человека, тем легче они воспроизводятся и тем менее подвергаются дезорганизующему влиянию различных условий и, прежде всего, эмоций.

Турист проехал на автомашине 146 км, а на пароходе на 50 км меньше, чем на автомобиле. Оставшийся путь турист прошел пешком. Сколько километров турист прошел пешком, если весь путь составил 254 км?

2. Задачи, решение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся условиях. Степень трудности в данном случае связана с количеством и разнородностью элементов, которое необходимо координировать наряду с описанными выше особенностями.

Турист проехал на автомашине 146 км, на пароходе на 50 км меньше, чем на автомобиле. Пешком турист прошел 12 км. Сколько километров проплыл турист на пароходе, если весь его путь составил 254 км?

a) Измените условия, чтобы остались только те данные, которые нужны для решения задачи;

b) Измените вопрос и условия, чтобы в задаче не было лишних данных.

3. Задачи, решение которых требует поиска новых, еще неизвестных способов действий. К данным задачам относятся такие, которые, требуют творческой активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем действий или необычной комбинации известных. При этом сюжетная задача должна отвечать учебным целям, главным образом, через правильное соотношение в ней новизны, ранее усвоенного материала и приемов его применения.

Например: «Турист отправился в путешествие, во время которого он ехал на автомашинах, плыл на пароходе и, конечно, шел пешком. На протяжении всего путешествия он наблюдал за очарованием природы и восхищался старинной архитектурой.

На основе приведенного текста составьте задачу так, чтобы ее решением было числовое выражение.

a) 264 — (146 + (146 — 50)).

b) 146 + (146 — 40) + (146 — 40): 2″.

Учащимся предлагают задачи с возрастающей степенью трудности, которые решаются последовательно — от первого к последнему. По количеству и качеству решенных задач можно судить о навыке ребенка, связанного с той или иной темой. Если ребенок не смог справиться с каким-либо заданием, то он должен объяснить, что вызвало у него затруднение. Это позволит преподавателю скорректировать свою обучающую деятельность относительно каждого ребенка.

Задачи и их решение занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка.

Важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами и передавал эти знания своим ученикам.