Конструктивные задачи и теоремы линий 2-го порядка на проективной плоскости

http://www..ru/

Елабужский институт «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Физико-математический факультет Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии Специальность (направление): 50 201.65 — математика Дополнительная специализация: информатика Курсовая работа на тему:

Конструктивные задачи и теоремы линий 2-го порядка на проективной плоскости Выполнил студент 021 группы Ярков Иван Александрович Елабуга 2013

Введение

В данной курсовой работе рассмотрим задачи и теоремы проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и/или касательных к ним, т. е. задачи конструктивного типа.

Само понятие линий 2-го порядка и пучка прямых на проективной плоскости изучается в нормированном курсе геометрии педагогического вуза. Конструктивные задачи не отображены подробно в нормированном курсе, следовательно, данная тема актуальна.

1. Теоремы

1. Теорема Паскаля. Если шестиугольник вписан в кривую 2-го порядка, то три точки пересечения его противоположных сторон лежат на одной прямой.

(Здесь речь идет о любом шестиугольнике, не только выпуклом, но и самопересекающемся, вершины которого принадлежат нераспадающейся кривой 2-го порядка. Под сторонами подразумеваются прямые, а не отрезки прямых. Две стороны называются противоположными, если при обходе шестиугольника в любом направлении они оказываются отделенными двумя сторонами.)

Пусть в кривую 2-го порядка вписан шестиугольник AB’CA’BC' (рис. 1). Введем следующие обозначения:

, , A’B = p, BC' = q, AC’p = P, A’Cq = Q.

Докажем, что, и — точки пересечения противоположных сторон — лежат на одной прямой.

Согласно построению и в силу основной теоремы (Точки кривой 2-го порядка проектируются из любых двух ее точек двумя проективными пучками.)

p (A',, P, B) A (AA', AB', AC', AB) C (CA', CB', CC', CB) q (Q,, C', B),

следовательно, A’PB QC’B, а так как точка В = pq сама себе соответствует, то A’P QC'. Значит, прямые A’Q? A’C, и PC'? AC' сходятся в одной точке. Таким образом, точка A’C•AC' = действительно лежит на прямой. Прямая называется прямой Паскаля данного шестиугольника.

Теорема Брианшона. Если шестисторонник описан около кривой 2-го класса, то три прямые, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).

(Сторонами описанного шестисторонника являются шесть касательных к данной кривой, перенумерованные в любой последовательности, а вершинами — точки пересечения соседних сторон.)

Точка пересечения указанных трех прямых называется точкой Брианшона данного шестисторонника.

Теорему Паппа можно считать частным случаем теоремы Паскаля, когда кривая 2-го порядка распадается на пару прямых, причем вершины вписанного шестисторонника с нечетными номерами лежат на одной прямой, а вершины с четными номерами — на другой, и ни одна вершина не совпадает с точкой пересечения этих прямых.

На рис. 3.a шестиугольник AB’CA’BC' вписан в кривую 2-го порядка, распавшуюся на пару прямых s и s'. Противоположные стороны шестиугольника пересекаются в точках X, Y, Z, лежащих на прямой Паскаля s.

Теорему, двойственную теореме Паппа, можно считать частным случаем теоремы Брианшона. На рис. 3.б стороны шестисторонника ab’ca’bc' проходят попеременно через две точки S и S', которые можно считать в совокупности выродившейся кривой 2-го класса, и ни одна сторона не совпадает с прямой SS'. Прямые x, y, z соединяющие противоположные вершины, сходятся в точке Брианшона S_о.

На рис. 3, а и б изображена одна и та же фигура. Она состоит из 9 точек и 9 прямых и называется конфигурацией Паскаля — Паппа. Через каждую точку конфигурации проходят три ее прямые, а на каждой прямой конфигурации лежат три ее точки.

2. Теорема Паскаля остается в силе и тогда, когда две смежные вершины вписанного шестиугольника, перемещаясь по кривой 2-го порядка, в пределе сливаются, а сторона шестиугольника, соединяющая эти вершины, превращается в касательную.

Теорема Брианшона остается в силе и тогда, когда две смежные стороны описанного шестисторонника, обкатываясь по кривой 2-го класса, в пределе сливаются, а вершина шестисторонника, в которой эти стороны пересекались, превращаются в точку касания.

Это дает нам возможность сформулировать теоремы Паскаля и теоремы Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника, вписанных в кривую 2-го порядка, и соответственно для двойственных фигур, описанных около кривой 2-го класса.

1.Если пятиугольник вписан в кривую 2-го порядка, то точка пересечения двух пар его несмежных сторон и точка пересечения пятой стороны с касательной в противоположной вершине лежат на одной прямой (рис. 4).

2.Если четырехугольник вписан в кривую 2-го порядка, то точки пересечения его противоположных сторон и точки пересечения касательных в противоположных вершинах лежат на одной прямой (рис.6).

3.Если треугольник вписан в кривую 2-го порядка, то точки пересечения его сторон с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой (рис.8).

1*.Если пятисторонник описан около кривой 2-го класса, то прямые, соединяющие две пары его несмежных вершин, и прямая, соединяющая пятую вершину с точкой прикосновения противоположной стороны, пересекаются в одной точке (рис.5).

2*.Если четырехсторонник описан около кривой 2-го класса, то прямые, соединяющие его противоположные вершины, и прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке (рис.7).

3*.Если трехсторонник описан около кривой 2-го класса, то прямые, соединяющие его вершины с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке (рис.9).

3. До сих пор мы различали понятия кривой 2-го порядка и кривой 2-го класса. Но в силу теоремы Маклорена совокупность всех касательных к кривой 2-го порядка есть пучок 2 — го порядка; следовательно, всякая кривая 2-го порядка есть огибающая пучка 2-го порядка, т. е. кривая 2-го класса. Отсюда в силу принципа двойственности всякая кривая 2-го класса есть также кривая 2-го порядка.

2. Конструктивные задачи

№ 1. Даны пять точек кривой 2-го порядка. Построить еще несколько ее точек.

Решение. Анализ. Пусть А, В, С, S, S' - данные пять точек кривой 2-го порядка, а М — шестая точка той же кривой (рис. 10). Рассмотрим вписанный шестиугольник ACBSMS'. В силу теоремы Паскаля точки пересечения противоположных сторон шестиугольника AC•SM, CB· MS' и BS· S’A = S? лежат на одной прямой m? — прямой Паскаля. Очевидно, точка S? не зависит от выбора точки М; следовательно, если заставить точку М описывать кривую, то прямая Паскаля то будет вращаться вокруг точки S?.

Построение. Проведем прямые АС = s и ВС = s'. Построим точку S? = AS' · BS. Проведем через точку S? произвольную прямую m?; она даст нам на прямых s и s' две точки: m? s и m? s'. Проведем прямые m = S· m? s и m' = S' • m? s,; они пересекутся в искомой точке М = mm'. Вернемся к точке S? и проведем через нее другую прямую m?.Мы получим на прямых s и s' другую пару точек, через которые проведем соответствующие прямые m и m' и таким образом получим другую точку М. На рис. 10 этот цикл повторен пять раз.

№ 2. Даны пять касательных кривой 2-го класса. Построить еще несколько ее касательных.

Решение. Анализ. Пусть а, b, с, s, s' - данные пять касательных к кривой 2-го класса, а m — шестая касательная к той же кривой (рис. 11). Рассмотрим описанный шестисторонник: acbsms'. В силу теоремы Брианшона прямые, соединяющие противоположные вершины, ас· sm, сb· ms' и bs· s’а =s? пересекаются в одной точке М? — точке Брианшона. Очевидно, прямая s? не зависит от выбора прямой m; следовательно, если заставить касательную m обкатываться по заданной кривой, то точка Брианшона М? будет описывать прямую s?'

Построение. Отметим точки ас = S и bс = S'. Построим прямую, s? = as'• bs. Возьмем на прямой s? произвольную точку М? и проведем через нее прямые SM?. и S' М?; они дадут нам на прямых s и s' две точки: М = SM?•s и М' = S’M?•s'. Прямая ММ' = m — искомая. Вернемся к прямой s? и возьмем на ней другую точку М?'. Она определит две другие прямые SM? и S’М?, которые дадут нам на s и s' другую пару точек М, М'. Так мы получим другую прямую m.

№ 3. Даны три точки кривой 2-го порядка и касательные в двух из них. Построить еще несколько точек кривой.

Решение. Анализ. Пусть. S, S' и, А — данные три точки, а прямые SS? и S’S? — касательные в точках S И S' (рис. 12). Допустим, что четвертая точка кривой М уже построена. Обозначим стороны вписанного четырехугольника SAS’М так: S’А = s, SA = s', SM = m, S’M = m'. В силу теоремы Паскаля 2 для вписанного четырехугольника точки пересечения противоположных сторон sm и s’m' и точка S? пересечения касательных в противоположных вершинах S и S' лежат на одной прямой то — прямой Паскаля. Точка S? не зависит от выбора точки М.

Построение. Проведем прямые s и s' И отметим точку S?. Проведем через S? произвольную прямую m?; мы получим на прямых s и s' точки m? s и m? s'. Построим прямые m = m? s•S и m' = = m? s'· S'; они пересекутся в искомой четвертой точке М = mm'. Вернувшись к точке S? и проведя через нее другую прямую m?, мы получим аналогично пятую точку кривой и т. д.

№ 4. Даны пять точек кривой 2-го порядка. Построить касательную к кривой в одной из них.

Решение. Пусть А, В, С, D, Е — данные пять точек. Требуется построить касательную к кривой в точке Е. Построим пятиугольник ABCDE и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и противоположные вершины (рис. 13). В силу теоремы Паскаля 1 точки пересечения двух пар несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в противоположной вершине коллинеарны. В данном случае пятой, стороной является е, а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным образом: а, с и b, d. Итак построим точки ас = Х и bd = У, затем — прямую Паскаля ХY Пусть XY•е = Z; тогда прямая EZ есть искомая касательная.

№ 5. Даны три точки кривой 2-го порядка и касательные в двух из них. Построить касательную к кривой в третьей точке.

Решение. Пусть А, В, С — данные точки, а и b — касательные к кривой в точках, А и В (рис. 14). Требуется построить касательную с в точке С. Обозначим стороны треугольника АВС теми же (строчными) буквами, что и противоположные вершины. В силу теоремы Паскаля три точки пересечения сторон треугольника с касательными к кривой в противоположных вершинах коллинеарны; поэтому построим точки аа = Х и bb = У, затем прямую Паскаля ХУ. Пусть ХУ· с = Z; тогда прямая CZ = c есть искомая касательная в точке С.

№ 6.Даны три вершины четырехугольника, вписанного в кривую 2-го порядка, касательная в одной из них и прямая Паскаля. Построить четвертую вершину и касательную к кривой в ней.

Решение. Пусть А, В, С — данные вершины, а — касательная в точке А, р — прямая Паскаля вписанного четырехугольника ABCD (рис. 15). Требуется построить четвертую вершину D и касательную d в ней. Так как противоположные стороны вписанного четырехугольника пересекаются на его прямой Паскаля, то точки AB•CD и AD· BC лежат на прямой р. Итак, построив точки АВ•p = Х и ВС•р = У и проведя прямые АY и СХ, мы получим искомую точку D = АY•СХ.В силу теоремы Паскаля 2 касательные к кривой в противоположных вершинах вписанного четырехугольника пересекаются на прямой Паскаля. Если бы была дана касательная b в вершине В, мы легко построили бы искомую касательную d, исходя из того, что b и d пересекают р в одной и той же точке. Но дана касательная, а в вершине А. Поэтому вместо четырехугольника ABCD, где вершины, А и D смежные, рассмотрим четырехугольник ABDC, имеющий те же вершины, но где вершины, А и D противоположные. Его противоположные стороны пересекаются в точках АВ· DC = Х и АС· BD = Z. Итак, проведя прямую Паскаля XZ, мы легко построим искомую касательную d, исходя из того, что она пересекает прямую XZ в той же точке, что и данная касательная а.

№ 7. Даны четыре точки кривой 2-го порядка и касательная в одной из них. Построить касательную в какой-нибудь из данных точек.

Решение. Пусть A, B, C, D — данные четыре точки, s — касательная к кривой в точке D (рис.16). Требуется построить касательную в точке В. Построим четырехугольник ABCD и обозначим его стороны AB=a, CD=c, BC=b, DA=d. В силу теоремы Паскаля 2 точки пересечения его противоположных сторон и точки пересечения касательных в противоположных вершинах лежат на одной прямой. Построим точки ac=X, bd=Y, затем прямую Паскаля XY. XY•s = Z; тогда BZ и есть искомая касательная.

№ 8. Даны три касательные к кривой 2-го класса и точки касания двух из них. Построить точку касания третьей касательной.

Решение. Пусть a, b, c — данные три касательные, точки касания A, B соответственно (рис.17). Требуется построить точку касания C для касательной c. Построим трехсторонник XYZ описанный около кривой. В силу теоремы Брианшона 3* прямые, соединяющие его вершины с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. AY•BX=O; ZO•c=C, это и есть наша искомая точка.

№ 9. Дана (построена) кривая 2-го порядка и на ней — точка P. Построить касательную к кривой в точке P.

Решение. Мы имеем на кривой точку P. Возьмем на кривой еще четыре точки A, B, C, D. Построим пятиугольник ABCDP и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и противоположные вершины (рис. 18). В силу теоремы Паскаля 1 точки пересечения двух пар несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в противоположной вершине коллинеарны. В данном случае пятой, стороной является p, а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным образом: а, с и b, d. Итак построим точки ас = Х и bd = У, затем — прямую Паскаля ХY Пусть XY•p = Z; тогда прямая PZ есть искомая касательная.

№ 10. Даны две вершины треугольника, вписанного в кривую 2-го порядка, касательные к кривой в этих вершинах и прямая Паскаля. Построить третью вершину.

Решение. Пусть A, B — данные две вершины, a', b' касательные в этих точках соответственно, a, b, c стороны треугольника, m? — прямая Паскаля (рис. 19).Требуется построить вершину C. В силу теоремы Паскаля 3 точки пересечения его сторон с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой, тогда a•a'•m?=aa', b•b'•m?=bb', c•m?=cc'. Построим касательную c' проходящая через точку cc', точкой касания касательной c' будет наша искомая вершина С.

№ 11. Даны две стороны трехсторонника, описанного около кривой 2-го класса, точки касания этих сторон и точка Брианшона. Построить третью сторону.

Решение. Пусть z и x данные две стороны b? — точка Брианшона, c, b — точки касания.

Требуется построить сторону y. В силу теоремы Брианшона 3* прямые, соединяющие вершины трехсторонника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. z • x = A, где, А одна из вершин трехсторонника. bb? • z = B, c b? • x = C. Прямая BC = y и будет третьей стороной, точкой касания будет точка а, т. к Ab? • y = a.

№ 12. В конфигурации Паскаля-Паппа взять произвольную прямую за прямую Паскаля и найти все остальные элементы чертежа.

Решение. На рис. 21 дана конфигурация Паскаля — Паппа.

Ее девять точек перенумерованы арабскими цифрами, а девять прямых — римскими цифрами. Способ нумерации не имеет значения. Будем считать прямой Паскаля прямую VП. На ней лежат точки 4,5,7. Запишем это так: VII (4, 5, 7). В этих точках пересекаются противоположные стороны искомого шестиугольника; значит, вершинами являются остальные шесть точек: 1,2,3, 6,8,9. Отметим прямые, проходящие через точки 4,5,7, кроме прямой Паскаля VII: 4(II, VI), 5(I, VIII), 7(III, IV). Отмеченные шесть прямых — это стороны шестиугольника. Неотмеченными остались прямые V и IХ; это именно те две прямые, на которых лежат вершины шестиугольника.

Остается выяснить порядок вершин и сторон. Перепишем номера сторон и укажем, какие вершины лежат на каждой из них.

I (1,3), II (2,6), III (8,9), IV (1,2), VI (3,9), VIII (6, 8). (а)

Как и должно быть, на каждой стороне лежат две вершины и каждая вершина принадлежит двум сторонам. Будем считать I первой стороной. Как видно из (а), на ней лежат вершины 1 и 3, причем 3 лежит также на стороне VI; значит, после 1 следует 3, а после I следует VI. На VI лежит, кроме 3, вершина 9, принадлежащая также стороне III; значит, после 3 следует 9, а после VI следует III. Продолжая рассуждать аналогично, мы получим следующие последовательности вершин и сторон: 1, 3, 9, 8, 6, 2 и I, VI, III, VIII, II, IV. Вершины расположены через одну на прямых IХ и V: IX (1, 9,6), V (3,8,2).

теорема конструктивный геометрия линия

Заключение

Мы рассмотрели основные теоремы кривых 2-го порядка: теоремы Паскаля и Брианшона. Мы научились использовать теоремы Паскаля и Брианшона в решении задач проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, т. е. задач конструктивного типа.

Были решены 10 задач конструктивного типа (№ 2 — № 11). Задачи № 1 и № 12 даны как пример к решению подобных задач.

Т.к. конструктивные задачи не отображены подробно в нормированном курсе, этот материал позволит лучше изучить теоремы и задачи конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка.

1. Атанасян Л. С. Геометрия. Ч.II. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. — М.: Просвещение, 1987. — С. 51−55.

2. Атанасян Л. С. Геометрия. Ч.II. / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. — М.: Просвещение, 1976. — 245 с.

3. Базылев В. Т. Геометрия. Ч.II. / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев. — М.: Просвещение, 1975. -С. 57−60.

4. Бакельман И. Я. Высшая геометрия. / И. Я. Бакельман — М.: Просвещение, 1976. — С. 121−134.

5. Буземан Г. Проективная геометрия и проективные метрики. / Г. Буземан, П. Келли. — М.: Издательство иностранной литературы, 1957. — С. 87−90.

6. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии. 3 изд. / О. А Вольберг, Н. Ф. Ефимова. — М.-Л.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1949. — С. 116−121.

7. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. 2 изд / Н. А. Глаголев, А. А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1936. — С. 92−103.

8. Коммисарук А. М. Проективная геометрия в задачах. — Минск: Вышэйшая школа, 1971. — С. 155−163.

9. Корн Г. А Справочник по математике.4 изд. / Корн Г. А, Корн Т. М — М.: Наука, 1978. — С. 64−69.

10. Понарин Я. Л. Аффинная и проективная геометрия. — М.: МЦНМО, 2009.-С. 221−224.