Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Рассмотрим применение разобранных методов для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости при решении примера.

Пример.

Найдите расстояние от точки до прямой:

.

Решение.

Сначала решим задачу первым способом.

В условии задачи нам дано общее уравнение прямой a вида:

.

Найдем общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку перпендикулярно прямой:

.

Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то направляющий вектор прямой b есть нормальный вектор заданной прямой:

.

то есть, направляющий вектор прямой b имеет координаты. Теперь мы можем записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как знаем координаты точки М₁, через которую проходит прямая b, и координаты направляющего вектора прямой b:

.

От полученного канонического уравнения прямой b перейдем к общему уравнению прямой:

.

Теперь найдем координаты точки пересечения прямых a и b (обозначим ее H₁), решив систему уравнений, составленную из общих уравнений прямых a и b (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):

Таким образом, точка H₁ имеет координаты .

Осталось вычислить искомое расстояние от точки М₁ до прямой a как расстояние между точками и :

.

Второй способ решения задачи.

Получим нормальное уравнение заданной прямой. Для этого вычислим значение нормирующего множителя и умножим на него обе части исходного общего уравнения прямой:

(об этом мы говорили в разделе приведение общего уравнения прямой к нормальному виду).

Нормирующий множитель равен.

.

тогда нормальное уравнение прямой имеет вид:

.

Теперь берем выражение, стоящее в левой части полученного нормального уравнения прямой, и вычисляем его значение при:

:

.

Искомое расстояние от заданной точки до заданной прямой:

равно абсолютной величине полученного значения, то есть, пяти ().

Ответ:

расстояние от точки до прямой:

равно 5.

Очевидно, достоинством метода нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости, основанного на использовании нормального уравнения прямой, является сравнительно меньший объем вычислительной работы. В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью.

Пример.

На плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка и прямая:

.

Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.

Решение.

Первый способ.

Можно от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом перейти к общему уравнению этой прямой и действовать так же, как в разобранном выше примере.

Но можно поступить и иначе.

Мы знаем, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно 1 (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Поэтому угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна заданной прямой:

.

равен 2. Тогда уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой и проходящей через точку, имеет вид:

.

Теперь найдем координаты точки H₁ — точки пересечения прямых:

и:

:

Таким образом, искомое расстояние от точки до прямой:

равно расстоянию между точками и :

Второй способ.

Перейдем от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом к нормальному уравнению этой прямой:

.

нормирующий множитель равен:

.

следовательно, нормальное уравнение заданной прямой имеет вид:

.

Теперь вычисляем требуемое расстояния от точки до прямой:

:

Ответ: .

Пример.

Вычислите расстояние от точки до прямой:

и до прямой:

.

Решение.

Получим нормальное уравнение прямой:

:

.

Теперь вычислим расстояние от точки до прямой:

:

.

Нормирующий множитель для уравнения прямой вида:

равен 1. Тогда нормальное уравнение этой прямой имеет вид:

.

Теперь мы можем вычислить расстояние от точки до прямой:

оно равно .

Ответ: и 5.

В заключении отдельно рассмотрим, как находится расстояние от заданной точки плоскости до координатных прямых Ox и Oy.

В прямоугольной системе координат Oxy координатную прямую Oy задает неполное общее уравнение прямой x=0, а координатную прямую Ox — уравнение y=0. Эти уравнения являются нормальными уравнениями прямых Oy и Ox, следовательно, расстояние от точки до этих прямых вычисляются по формулам:

соответственно.

Рисунок 5.

Пример.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy. Найдите расстояния от точки до координатных прямых.

Решение.

Расстояние от заданной точки М₁ до координатной прямой Ox (она задается уравнением y=0) равно модулю ординаты точки М₁, то есть, .

Расстояние от заданной точки М₁ до координатной прямой Oy (ей соответствует уравнение x=0) равно абсолютной величине абсциссы точки М₁: .

Ответ: расстояние от точки М₁ до прямой Ox равно 6, а расстояние от заданной точки до координатной прямой Oy равно .