Первообразная и интеграл

• *Повторение материала по теме «Производная»
• *Плавный подход к понятию первообразной
• *Первообразная
• *Правила нахождения первообразных
• *Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление
• * Вычисление площадей фигур с помощью интегралов

В этой теме рассматривается как механический, так и геометрический смысл производной. На языке функций и их графиков это раскрывается так: замена криволинейного участка графика прямолинейным означала замену неравномерного движения равномерным, а также замену некоторой дуги кривой отрезком касательной.

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени: если некоторая точка прошла путь s (t), то ее мгновенная скорость v (t) = s? (t). Если рассмотреть обратную задачу — нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью v (x), то придем к функции s (t), которую называют первообразной функции v (t), т. е. такой функцией, что s? (t) = v (t). Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной. Например, (х2)? = 2х и (х2 + 3)? = 2х, и поэтому первообразной функции у = 2х является функция у = х2 + С, где С — произвольная постоянная.

Если скорость меняется по закону v = v (t) и ее графиком является некоторая кривая, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади (закрашенного) прямоугольника со сторонами, длины которых равны v (t) и h. Точное значение пути s (t) будет равно площади криволинейной трапеции, образованной кривой v (t), осью Ох и прямыми v (t) и v (t + h).

Если в заданную кривую v (t) вписать некоторую ломаную, то s (t) можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание каждого прямоугольника, тем ближе сумма площадей прямоугольников будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так, процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла.

Учебный материал строится так, что сначала определяется операция интегрирования как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных), естественно, в этом случае получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции f (x) выражаются как F (х) + С, где F (х) — первообразная, найденная в таблице. Этот факт строго не доказывается, а только поясняется.

Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона — Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона — Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволинейных трапеций.

Желательно, чтобы учащиеся усвоили основные идеи интегрального исчисления. Не следует усложнять и без того трудный для школьников учебный материал. Система упражнений не содержит действительно трудных задач по теме, так как цель данного курса — ознакомить с основами интегрального исчисления: сформировать первичные умения применять теоретический материал, дать представление о возможности применения интеграла в простейших случаях. Более глубокое изучение данной темы — задача вуза, где рассматривается интеграл под тем углом зрения, который необходим в соответствующей сфере деятельности.

Первообразная.

Изучение материала параграфа полезно начать с повторения понятия производной и ее физического смысла на примере задачи о мгновенной скорости. Далее, нужно поставить задачу о нахождении закона движения по данному закону изменения скорости и перейти к определению первообразной. Сформулированное замечание фактически представляет собой определение первообразной на отрезке. Задания способствуют формированию первых представлений учащихся о первообразной.

Выполнение заданий упражнения подготовит учащихся к нахождению первообразной для степенной функции, которая в общем виде формулируется в задаче. Остальные задания упражнения позволят повторить таблицу производных, правила нахождения производных и послужат пропедевтикой формирования представления о неоднозначности первообразной.

Тот факт, что если F? (x) = 0 на некотором интервале (а; b) и функция F (х) непрерывна на отрезке [а; b], то F (х) = С на отрезке [а; b], где С — постоянная, был доказан в предыдущей главе. В общеобразовательных классах это утверждение поясняется, опираясь на геометрический смысл производной (для большей наглядности можно использовать рисунок учебника). Опираясь на него, в профильных классах доказывается теорема, которая и показывает, что первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную величину. Теперь можно говорить о нахождении всех первообразных функций.

Правила нахождения первообразных Изучая материал параграфа, учащиеся продолжают знакомиться с таблицей первообразных для элементарных функций и учатся применять правила интегрирования. Повторение формул и правил нахождения производных полезно провести при проверке таблицы первообразных и тех правил, по которым они будут находить первообразную для каждой функции. При этом следует сразу обратить внимание учащихся на тот факт, что первообразная и функция во всех рассмотренных примерах определены на одном и том же промежутке, т. е. функция F (х) является первообразной для функции f (x) на том промежутке, где они обе определены. Это важно, в частности, для правильного понимания того, что первообразная для функции f (x)= 1/x лишь для х > 0 равна ln x + С.

Если речь идет о всех действительных значениях х, кроме нуля, т. е. и о случае отрицательных значений x, то применяется общая формула и первообразная равна ln | x | + С.

Вторая таблица первообразных сложнее для применения и для запоминания, поэтому вполне возможно при решении упражнений учащимися общеобразовательных классов пользоваться учебником или вынести таблицу на плакат. Учащиеся профильных классов должны знать правило нахождения первообразной для функции от линейной функции, т. е. для функции f (kx + b), которое требует вынесения коэффициента 1/k. Таблицу первообразных заучивать не нужно.

Желательно вновь обратить внимание учащихся на функцию f (x) = ех и пояснить, что тот факт, что функция, ее производная и первообразная для нее имеют один и тот же вид, предопределяет важную роль данной функции в решении многих практических задач.

На конкретных примерах можно показать, что правило нахождения первообразной для функции, представленной в виде суммы функций, верно не только для суммы двух слагаемых, но и трех и более. Примеры:

найти первообразные для следующих функций: 1) 3×3 + 2×2? х + 1; 2) 2 + 3ех + 4 cos x; 3) 4 x + sin 2x? х4? 3.

Результат решения упражнений можно проверить дифференцированием. Полезно периодически проверять результат выполнения аналогичных заданий дифференцированием: при этом учащиеся не только повторяют изученный материал, но и глубже осознают связь двух операций.

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление Материал дается на наглядно-интуитивном уровне, поэтому учителю не следует требовать от учащихся воспроизведения каких-либо рассуждений, приведенных в тексте учебника.

Представление о криволинейной трапеции учащиеся должны получить, изучая рисунки учебника (кодопленка, таблица). Каждый раз, распознавая на этих рисунках график функции, непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b], положительной на интервале (a; b), и прямые х = а и х = b, у = 0, учащиеся еще и еще раз выявляют особенности криволинейной трапецией. Возникает вопрос о возможности вычисления площади полученной фигуры.

Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью площади многоугольника, представляющего собой объединение прямоугольников (рисунок). Важно, чтобы ученик увидел следующий алгоритм в рассуждениях: 1) разбиваем [a; b] на n частей (необязательно равных); 2) составляем суммы, которые называют интегральными; 3) находим предел, к которому стремятся интегральные суммы и который в результате и является площадью трапеции.

Это и назовем определенным интегралом.

Далее вводим формулу Ньютона — Лейбница, которая помогает вычислять интегралы. При решении задач на нахождение площади криволинейной трапеции важно, чтобы учащиеся грамотно делали чертеж и могли его использовать для иллюстрации решения: на этом этапе вычисление интеграла вторично, главное — вычисление площади.

Начать решение задач целесообразно с выяснения, является ли данная фигура криволинейной трапецией, затем по рисункам только записать формулу Ньютона — Лейбница для нахождения площади и далее перейти к упражнениям.

Прежде чем переходить к изучению данного материала, целесообразно повторить построение графиков некоторых элементарных функций (можно напомнить по готовым чертежам).

В качестве упражнений для актуализации знаний можно использовать работу по готовым чертежам, используя рисунки тех фигур, площади которых предстоит находить на уроке, не указывая конкретные пределы интегрирования. Это позволит тратить меньше времени на выявление пределов при выполнении упражнений и будет способствовать формированию умений в нахождении оптимальных путей решения задач. Рисунки используются при выполнении упражнений.