Дробный факторный эксперимент

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) применяется в том случае, если число факторов к достаточно велико, так что выполнение эксперимента по схеме ПФЭ оказывается затруднительным. Необходимо, однако, при этом иметь дополнительную априорную информацию о свойствах изучаемого объекта. Обычно эта информация существует в виде списка существенных переменных, которые могут реально влиять на результат эксперимента. Например, имеется три фактора. Из теоретических либо других соображений экспериментатору известно, что на выходную величину могут влиять только сами факторы х_ъ х₂, х₃. Тогда математическую модель следует искать в виде линейного полинома.

где введена фиктивная переменная х₀ = 1. В этом случае можно ограничиться всего четырьмя опытами. Но 4 опыта реализуются в ПФЭ 2². Так как в матрице планирования ПФЭ 2² все столбцы, не исключая и столбец (х^), попарно ортогональны, то оказывается возможным провести эксперимент даже при к = 3 по плану ПФЭ 2², но фактор х₃ варьировать в соответствии со столбцом (х-р^). Ранее, в табл. 2.1, представляющей собой матрицу планирования ПФЭ 2², столбец х₃ = х₁х₂ заполнялся чисто расчетным путем, т. е. целиком определялся двумя имеющимися факторами х_а и х₂. При трех факторах х₃ выступает независимо от х_г и х₂. Он равноправен с ними, хотя его значения в опыте задаются в соответствии со столбцом (х^) табл. 2.1. При этом матрица планирования будет иметь вид, представленный в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Матрица планирования ДФЭ 23−1.

В связи с тем что число опытов, предусматриваемых матрицей планирования, представленной в табл. 2.5, равно половине числа опытов, реализующихся в ПФЭ 2³, упомянутая матрица планирова.

ния называется полурепликой ПФЭ 2³, или матрицей планирования дробного факторного эксперимента (ДФЭ) 2³⁻¹. В общем случае обозначение ДФЭ 2^к~^р указывает, что эксперимент проводится на двух уровнях и при числе факторов к производится число опытов, равное 2^к~ ^р. Дробность реплики равна ½^р. При большом числе факторов появляется возможность использования ДФЭ большой дробности и ограничиваться при построении математической модели меньшим числом опытов. Так, при к = 10 и наличии априорной информации о том, что эффекты взаимодействия факторов не влияют на отклик, для нахождения 11 коэффициентов Ъ₀, Ъ_ь …, Ь₁₀ достаточно проведения 11 опытов, тогда как по схеме ПФЭ 2¹⁰ должно быть проведено 2¹⁰ = 1024 опыта.

Реализация такого объемного эксперимента (более 1000 опытов) ставит перед исследователем вопрос об адекватности условий. Наиболее отчетливо это проявляется при проведении химических опытов. Изменение физико-химических свойств реагентов, определяемое термином «старение», однозначно свидетельствует о неравнозначности условий реакций. Достаточно вспомнить знакомый многим с детства или по литературным источникам процесс проявления изображений при фотопечати. В зависимости от числа проявленных отпечатков и срока хранения («свежести») проявителя время операции может увеличиться с единиц до десятков секунд. Реплика ДФЭ 2^10₆ содержит 16 (сравните с 1024!) опытов, т. е. позволяет построить математическую модель за более короткое время, не прибегая к чрезмерному количеству измерений.

План ДФЭ не является единственным. Из плана ПФЭ 2^к можно сформировать тем больше различных планов ДФЭ 2^к~^р, чем больше р-дробность реплики ДФЭ. Каждый из этих планов может быть использован. Однако при выборе конкретного плана следует учитывать обстоятельство, вытекающее из того, что список предполагаемых существенных переменных на практике не всегда точно известен. Бывает, что некоторые члены взаимодействия, которые не включаются в математическую модель, на самом деле влияют на отклик. Тогда вычисленные на основе ДФЭ коэффициенты будут «смешаны» с коэффициентами при членах взаимодействия. Чтобы понять, какие коэффициенты являются смешанными оценками, вводятся понятия генерирующего соотношения и определяющего контраста. В нашем примере фактору х₃ был предоставлен столбец хрс₂. Соотношение.

называется генерирующим соотношением, поскольку оно создает (генерирует) дробную реплику. Если умножить обе части равенства (2.28) на х₃, то получим

где I — единичный столбец (столбец, содержащий одну единицу, остальные нули). Соотношение (2.29) называется определяющим контрастом. Пользуясь определяющим контрастом, можно установить, какие из коэффициентов будут смешанными. Умножим определяющий контраст (2.29) нах^ при i = 1, 2, 3 последовательно:

При получении равенства (2.30) учитывалось, что х? =1. Соотношение (2.30) говорит о равенстве соответствующих столбцов матрицы планирования. Например, столбцы х_г и х₂х₃ одинаковы. Их нельзя одновременно оставлять в матрице планирования, так как это приведет к вырожденное™ (равенству нулю) информационной матрицы при невозможности получить решение. Присутствие же только х_г ведет к смещению оценок. Коэффициент Ь_г отражает влияние х_г и Х2Х3. Это записывается следующим образом:

Аналогично.

где Ь, — математические ожидания соответствующих коэффициентов.

Из возможного набора следует использовать также дробные реплики, которые допускают смешивание коэффициентов при линейных факторах с коэффициентами при тех взаимодействия, которые вероятнее всего являются несущественными. Обычно к таковым относятся взаимодействия наивысших порядков.

Рассмотренные выше планы были планами первого порядка. Учитывая безразмерность как следствие формализованного происхождения переменных х_{, произведения типа «хрс_;» определяют первый порядок уравнения, справедливый для линейного характера взаимодействий. При необходимости планы ПФЭ и ДФЭ можно расширить, достроить с тем, чтобы по ним можно было получать уравнения второй степени. Речь идет о выражениях, содержащих переменные типа «хрс,». При этом производятся дополнительные опыты в начале координат и на координатных осях. Такие планы называют планами второго порядка (центральное композиционное ортогональное планирование — ЦКОП и центральное композиционное рототабельное планирование — ЦКРП). Существует значительное число планов второго порядка, оптимальных в том или ином отношении.