Интегральные представления сигналов

Рассмотренные в предыдущих параграфах представления сигналов называются дискретными, потому что каждый сигнал представляется счетной последовательностью величин (коэффициентов ряда а₍). Основное преимущество дискретных представлений в том, что от них просто перейти к приближенным конечным представлениям, нужным для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. Но в теоретических исследованиях, таких, например, как вопросы линейных преобразований, желательно иметь точное представление сигнала, с которым можно оперировать, не заботясь о допускаемой ошибке.

Непрерывные представления сигналов

Для широких классов сигналов, таких как!²(-оо₅оо)₅ точные дискретные представления получаются достаточно громоздкими и с трудом поддаются простым физическим истолкованиям, из-за того что применяемые полные ортонормальные системы сложны по своей природе.

Подходящее, казалось бы, разложение по смещенным во времени функциям {v (t) = v (t — iT); i = 0, ± 1, ±2, …} не является полным в L²(T) при любой исходной функции v (t). Обычно для практических сигналов ошибку приближения можно произвольно уменьшить, если выбрать Т достаточно малым. Мы приходим, естественно, к такому представлению сигнала, при котором параметр iT распределен непрерывно вдоль оси времени, а не в изолированных, равномерно расставленных точках.

Обобщение этой идеи непрерывного представления приводит к различным интегральным преобразованиям, формирующим соответствующие интегральные представления сигнала вместо суммы ряда. Термин «непрерывный» не обозначает в данном случае обычного понятия непрерывности отображения, а указывает на то, что множество параметров, характеризующих используемый в представлении базис, достаточно плотно.

Далее мы опишем интегральные представления, рассматриваемые на основе аналогии или обобщения дискретных представлений. Стремясь сделать такую аналогию полной, мы сталкиваемся с рядом математических трудностей. Несмотря на эти трудности, такой подход дает глубокое понимание сущности проблемы на физическом уровне. В части математической строгости следует полагаться на специальные исследования применительно к конкретным интегральным преобразованиям. Преобразования Фурье и Гильберта, широко используемые в теории сигналов, можно легко интерпретировать с рассматриваемой точки зрения. Действительно, вводные рассуждения по интегралам Фурье обычно базируются на рядах Фурье. Мысль о том, что многие интегральные преобразования можно просто исследовать путем непосредственного обобщения дискретных преобразований, оказывается весьма продуктивной и приводит к очень интересным результатам, которые обычно вполне применимы в практических приложениях.