Что нужно знать о действительных числах

^[1]

Действительные числа служат основой математики и ее приложений. Задачи на свойства действительных чисел хорошо развивают логико-математическое мышление студентов и школьников. Какие же их исходные свойства (аксиомы) обычно выделяются? Требуется, чтобы система R действительных чисел удовлетворяла естественным алгебраическим и порядковым свойствам, т. е. R должно быть линейно упорядоченным полем.

Как и всякое линейно упорядоченное поле, R содержит линейно упорядоченное поле Q рациональных чисел в качестве подсистемы. Посмотрим, что еще надо требовать от R, чтобы действительные числа обладали, например, следующими элементарными свойствами.

Свойство 1. Между любыми двумя различными действительными числами лежит хотя бы одно рациональное число, т. е. Q плотно в R.

Свойство 2. Между любыми двумя различными действительными числами существует иррациональное число, т. е. RQ плотно в R.

Отметим, что линейно упорядоченные поля плотны (в себе): если а < Ь, то а< (а + Ь)/2 < Ь. Разберем сначала свойство 1. Предположим, что оно выполнено. В R для любого г > 0 найдется положительное рациональное число q < г. Рациональные числа суть отношения целых чисел. Поэтому q = т/п для некоторых натуральных тип. Откуда 1/п < г. Далее берем произвольное b > 0. По доказанному существует натуральное число п, удовлетворяющее неравенству 1/п < 1/Ь, равносильному неравенству Ъ < п. Но тогда, как легко видеть, на линейно упорядоченном поле R должна выполняться и Аксиома Архимеда (III век до Р. Х.).Для любых, а > 0 и Ъ существует такое натуральное число п, что b < па.

Обратно, из аксиомы Архимеда можно вывести свойство 1. Точнее, имеет место утверждение:

Теорема 1. Для произвольного линейно упорядоченного поля Р эквивалентны следующие условия:

• 1) Р архимедово, т. е. удовлетворяет аксиоме Архимеда;
• 2) в Р для любого х > 0 найдется натуральное п, такое, что 1/п < х;
• 3) Q плотно в Р.

Эта теорема доказывается в курсе «Числовые системы». Заметим только, что при доказательстве импликации 1) => 3) неявно используется принцип математической индукции.

Из свойства 1 немедленно следует плотность множества Q + г в R при любом действительном г. Поэтому для обоснования свойства 2 достаточно иметь хотя бы одно иррациональное число. Иррациональные числа были открыты пифагорейцами в IV веке до Р. X. в рамках учения о соизмеримости отрезков. Древние греки развили геометрическую алгебру, в которой числа отождествлялись с отрезками, в частности число V2 означает диагональ квадрата с единичной стороной и, стало быть, оно для них существует. В дальнейшем на этом пути возникло понятие числовой прямой.

Теорема 2. V2 — иррациональное число.

Тот факт, что квадрат рационального числа не равен 2, доказывается в школе. Нетрудно доказать существование иррациональных чисел (и свойства 1, 2) при определении действительных чисел как бесконечных десятичных дробей, которые естественным образом изображаются точками числовой прямой.

Приведем доказательство свойства 2, не зависимое от аксиомы Архимеда. Предполагаем только, что R — линейно упорядоченное поле с положительным элементом 42. Имеем 1 < 42 < 2. Допустим от противного, что между числами а < b в R нет иррациональных чисел. Тогда все элементы интервала (а, Ь) — рациональные числа. В силу плотности R выберем в этом промежутке рациональные числа р < q. Отрезки [О, q — р], [0, 1] и [1, 2] также сплошь состоят из рациональных чисел (почему?), что противоречит теореме 2.

Чисто логически доказывается (как?) существование положительного иррационального числа, которое в иррациональной степени 42 является рациональным числом.

Замечание. Свойства 1 и 2 — одни из важнейших свойств действительных чисел. И учитель математики должен уметь доказывать их строго и доступно для учащихся. Автор попросил некоторых студентов и преподавателей матфака дать свои доказательства свойств 1 и 2. Ответы показали, что далеко не все студенты могут правильно вскрыть простейшую арифметическую структуру R. Зачем же тогда им изучать меру Лебега или проективную геометрию?

Вернемся к вопросу о существовании иррациональных чисел. Существование натуральных корней из положительных чисел обеспечивается тем или иным свойством непрерывности (или полноты) системы R.

Теорема 3. Для всякого линейно упорядоченного поля Р эквивалентны следующие свойства:

• 1) Р непрерывно по Вейерштрассу, т. е. любое ограниченное сверху непустое подмножество в Р обладает точной верхней гранью;
• 2) Р полно по Дедекинду, т. е. каждое сечение Р имеет единственный рубеж;
• 3) Р архимедово, и любая последовательность вложенных отрезков в нем имеет непустое пересечение (полнота по Кантору);
• 4) Р архимедово, и все фундаментальные последовательности в Р являются сходящимися (подход Кантора).

Линейно упорядоченное поле называется непрерывным, если оно обладает одним из эквивалентных свойств теоремы 3. Система R стандартно определяется как непрерывное линейно упорядоченное поле. Такая содержательная аксиоматическая теория действительных чисел категорична и непротиворечива (если непротиворечива теория натуральных чисел). См. Приложение V.

Теорема 4. Все положительные элементы линейно упорядоченного поля R являются квадратами, любой многочлен нечетной степени из R[x] имеет корень в R и каждое линейно упорядоченное алгебраическое расширение R совпадает с R.

Литература

: [8, 86—88, 92, 96, 102, 308, 321].

• [1] См. также: Вечтомов Е. М., Чермных В. В., Широков Д. В. Методика изучения теории действительных чисел // Вестник ВятГГУ. 2012. 2(3). С. 57—68.