Построение продольной сетки в канале

Повышение точности вычислений при дискретной аппроксимации процессов динамики сплошных сред возможно двумя способами — применением методов более высокого порядка и измельчением пространственной сетки. Методы более высокого порядка, вообще говоря, лучше, чем методы более низкого порядка. Однако разностные схемы порядка точности выше второго требуют большего объема вычислительной работы и использования равномерной сетки [220]. Кроме того, с помощью повышения точности разностной схемы нельзя воспроизвести особенности решения внутри расчетной ячейки. Это ограничение не зависит от порядка точности применяемого алгоритма и приводит, в частности, к появлению ошибок Гиббса [196]. В задачах гидромеханики, характеризующихся наличием областей высоких градиентов переменных, неизбежно использование неравномерных сеток, позволяющих увеличить разрешающую способность сетки в этих областях. При этом желательно использование квазиравномерных сеток [222], удовлетворяющих условию | h? + j — h-^fc)| < a (/i[^fc))² где i — номер шага сетки в последовательности сеток с номером к, a > 0 не зависит от к. Квазиравномерные сетки могут быть получены из равномерных с помощью отображений, задаваемых дважды непрерывно дифференцируемыми функциями [95]. Обычно используемые на неравномерных сетках аппроксимации первых и вторых производных, имеющие второй порядок на равномерной сетке, сохраняют таковой и на квазиравномерной.

Увеличение разрешающей способности сетки в областях с большими градиентами требует измельчения шагов сетки как вблизи границ области, так и внутри области. При расчете нестационарных квазиодномерных течений в каналах ГЖТМС необходимо использовать сетки, адаптирующиеся к движению подвижных элементов на срезах канала и к возникновению областей больших градиентов внутри канала в процессе функционирования. Адаптирующиеся к особенностям течения сетки широко применяются в вычислительной гидромеханике. Методы построения сеток и обзор некоторых работ указанного направления приводятся в [54], [9], [196], [238], [249]. Общим при формировании сеток является подход, реализованный в настоящей работе и заключающийся в записи уравнений в преобразованной системе координат, введении равномерной сетки в преобразованных координатах и определении преобразования координат, обеспечивающего требуемые свойства сетки. В [249] исследован вопрос о сохранении разностной схемой на произвольной сетке характеристик исходной разностной схемы на неподвижной равномерной сетке. Выяснены требования к подвижным неравномерным сеткам, при которых шаг по времени для явных разностных схем на таких сетках является возможно большим. Кроме этого, сформулирован способ построения неравномерной подвижной сетки, удовлетворяющей этим требованиям, реализованный в настоящей работе. В целом в рамках настоящей работы реализовано три способа построения продольных сеток в каналах ГЖТМС.

Способ 1. Задание равномерной сетки, адаптирующейся к положению подвижных элементов на срезах канала. При этом преобразование координат (4.20) задается аналитически.

где* — физическая или безразмерная продольная координата в канале; х_п1, *п2 — координаты ПЭ в начале и конце канала. Шаг сетки Я = 1/N, где N — число узлов (ячеек) сетки. Координаты узлов сетки и их скорости задаются соотношениями.

Способ 2. Вариационный подход к построению сетки, представляющий собой вариант метода, описанного в [249], и сводящийся к построению отображения (t, Q —>? (t, х) минимизирующего функционал.

где.

а > О, b > 0 — параметры зависящие от градиентов течения. Следуя [249], полагаем а = const, а в качестве b используем функцию.

где а, р, у = const > 0; ср;, ср, — некоторые переменные интегрирования, например, плотность р и концентрация С_а. Возможен расчет сетки с адаптацией к градиенту одной переменной. При этом (р_; = 0. Уравнение Эйлера — Лагранжа, определяющее функцию х^{т + !}(У, минимизирующую функционал (4.121), имеет вид.

Во внутренних узлах сетки уравнение (4.123) аппроксимируется разностной схемой второго порядка точности по Ь,

Граничные условия для (4.124) определяются движением подвижных элементов и формулируются на гранях приграничных ячеек.

Сеточные граничные условия для (4.124) получаются интегрированием уравнения (4.123) по приграничной ячейке и заменой производ;

дх^т+' дх^m+1

ных —— ,—— на их односторонние аппроксимации (4.61) с ис;

^ I ^ _N+i 2 2.

пользованием (4.125). Они имеют вид, подобный (4.124) с точностью до замены.

Уравнение (4.124) с граничными условиями (4.126) решается методом прогонки и определяет сетку x_fc^m+1, к = 1, …, N. Пространственная дискретизация уравнений предусматривает расчет переносной скорости V^m+! сетки, производных Е,™⁺¹ на гранях сетки, и х™ ⁺¹ в узлах сетки.

^{а +} 2

При этом.

Значения x^m₁⁺¹, x'^{, l+1}, получаются с помощью односторонних аппрок;

^2 ^^Ы+2

симаций (4.61). При расчете течений в каналах с двумя подвижными элементами на концах расстояние между подвижными элементами может меняться в очень широких пределах как в сторону увеличения, так и уменьшения вплоть до соударения ПЭ. Очевидно, что при этом целесообразно уменьшать или увеличивать число узлов расчетной сетки в канале, так как необходимая разрешающая способность сетки определяется не расстоянием между ПЭ, а крутизной фронтов при течении рабочего тела. В этой связи изложенный выше алгоритм расчета сетки дополнен следующими операциями:

• • вводятся h_min и h_max — допустимые максимальный и минимальный шаги сетки по координате х;
• • если минимальный шаг сетки х/¹*¹ становится меньше h_min, число узлов сетки N уменьшается на 1 и сетка х/¹⁺¹ рассчитывается заново;
• • если максимальный шаг сетки х/' ⁺¹ становится больше h_max, число узлов сетки N увеличивается на 1 и сетка х/^{1 + 1} рассчитывается заново;
• • при изменении числа узлов сетки N^m+1 ^ А/" ¹ производится пересчет параметров течения в момент времени t^т со старой сетки на новую сетку ?,/ ⁺¹ квадратичной интерполяцией сеточных функций.

Способ 3. Задание неравномерности сетки с помощью непосредственного использования распределений параметров на предыдущем временном слое.

Пусть в момент времени t^m известна сеточная функция/" ¹, заданная на неравномерной сетке х/¹, х/¹ е [х"₁₅ х/У или равномерной сетке !;/, к = 1, …, п. Далее описан алгоритм построения неравномерной сетки х/*⁺ адаптированной к изменению сеточной функции/" ¹. Он включает два этапа. На первом этапе строится неравномерная сетка х_;— по х, содержащая, вообще говоря, заранее неизвестное число узлов N1 и удовлетворяющая следующим требованиям:

• • размеры шагов таковы, что на каждом шаге изменение/" ¹ не превосходит допустимого;
• • неравномерность сетки ограничена условием

• • шаг сетки ограничен сверху заданной величиной fr_max;
• • существенные локальные экстремумы (см. ниже) функции /^т лежат на гранях сетки.

На втором этапе задаваемое этой неравномерной сеткой отображение (t, У —*? (t, х) используется для задания локальных масштабов неравномерности сетки, состоящей из N узлов, число узлов которой в дальнейшем корректируется при выходе максимального и минимального шагов из диапазона [fr_mj_n, /i_max].

Алгоритм реализации первого этапа изображен на рис. 4.2 и заключается в следующем.

1.1. Определяется допустимое изменение функции/'" на шаге сетки где DF_max = | max//¹ — min//¹1; N_F — заданное число.

к к

1.2. Определяются «существенные» локальные экстремумы функции /" ', отличающиеся друг от друга более чем на D/, и определяются индексы возрастания sign I_k = 1 или убывания sign I_k = 1/^т на интервалах между этими экстремумами.

1.3. В каждом интервале между локальными экстремумами формируется неравномерная сетка с гранями х _1г i = О, 1,…, при этом выпол;

‘ ⁺ 2.

няются следующие действия:

• а) задается допустимое изменение/™ на одном шаге данного локального интервала Df_k = DF_e/N_FK, где DFi — изменение/™ на данном интервале; N_fk = INT{DF, N_F/Df_max} + 1;
• б) формируются грани сетки х _ь при этом:

^,+ 2.

где.

г 1 Гх2, прих1<�х2,.

При i>2x j = minjx₃₂, x ^ +h_max >, где х₃₂ = jхЗ, приxl>хЗ,.

² *? ² ' [xl, иначе,.

Процесс заканчивается, когда последняя грань х, оказывается вне.

' ⁺ 2.

интервала между локальными экстремумами. После этого сетка х ,.

* ⁺ 2.

в локальном интервале пропорционально сжимается до совмещения правой грани с концом локального интервала;

в) построение сетки х₍ заканчивается объединением сеток, построенных на интервалах между локальными экстремумами, подсчетом числа узлов N1 и построением соответствующей равномерной сетки.

f, =—, i = l,…, АП.

— 4 ^т

Алгоритм реализации второго этапа изображен на рис. 4.2 пунктирными линиями и заключается в следующем.

2.1. Строится равномерная сетка по включающая N ячеек с гранями

Рис. 4.2. Алгоритм построения продольной сетки с числом узлов N = 8 с помощью сеточной функции f^m:

F = (f^m — Cn)/(Cax — Cn); x=(x- х_п1)/(х_п2 — 1); 1 — равномерная сетка по 2, из 10 шагов; 2 — неравномерная сетка поХиз 20 шагов (х.₊2); 3 — равномерная сетка по ?, из 20 ша;

гов (|;_/+0; 4 — равномерная сетка по ?, из 8 шагов; 5 — неравномерная сетка по X из.

• 8 шагов
• 2.2. Рассчитывается массив разностных отношений, аппроксимиру-

дх ~

ющих производную — в узлах сетки ^.

2.3. Строится неравномерная сетка х размером N ячеек, грани которой определяются соотношениями.

где х?_п получается интерполяцией сеточной функции х# в точке = -.

АТ

2.4. Построенная сетка х" корректируется таким образом, чтобы совместить ее правую грань с концом интервала x_n2(f^r" ^{+ 1}), и, таким образом, выстраивается итоговая сетка x™ ^{+ 1}, п — 1,…, N, с гранями.

2.5. Аналогично способу 2 проверяются размеры максимального и минимального шагов сетки х™ ^{+ 1} и производится добавление либо отбрасывание одного узла сетки. После этого действия 2.1—2.4 повторяются до выполнения ограничений на величины шагов с последующей интерполяцией сеточных функций на новую сетку по размером N2.

В заключение отметим, что изложенный алгоритм легко обобщается на случай учета градиентов нескольких функций/™,/™, …. В этом случае (см. рис. 4.2) на первом этапе алгоритма при построении сетки х _х

^{1 +} 2.

точки, полученные с помощью отображения /™, объединяются с таковыми от/™ и т. д.