Аксиоматический метод. 
Информатика и математика

В результате освоения данной темы студент должен: знать

• • основные понятия теории высказываний;
• • логические операции и их таблицы истинности;
• • формулы логики высказываний; уметь
• • проводить расчеты с использованием аксиоматического метода;
• • строить нормальные формы логики высказываний; владеть
• • методикой проведения логических расчетов при решении специальных задач юриспруденции;
• • навыками анализа и реферирования научной литературы по данной теме.

Высказывания. Логические операции и их таблицы истинности

Математическая логика — наука, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Базовым понятием здесь является высказывание.

Высказывание — связное повествовательное предложение, которое истинно или ложно. Высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

Не всякое предложение может быть истинным или ложным, т. е. не любое предложение может быть высказыванием.

Пример 2.1.

A. «Число л является иррациональным».

B. «Неверно, что число л является иррациональным».

C. «Число л + 1 является иррациональным».

D. «Если число л является иррациональным, то число л + 1 также является иррациональным».

E. «Который час?».

F. «Идите решать задачу к доске».

G. «Площадь отрезка меньше длины куба».

Примеры Е и F не являются высказываниями, поскольку один из них является вопросительным предложением, другой — повелительным. Повествовательное предложение G не является высказыванием, так как нельзя сказать, истинно оно или ложно, из-за отсутствия в нем смысла. Первые четыре предложения являются высказываниями. Высказывания Л, С и D истинны, высказывание В— ложно. ?

Истинное высказывание имеет логическое значение «истина», а ложное высказывание имеет логическое значение «ложь».

В дальнейшем «истину» будем обозначать цифрой 1, а «ложь» — цифрой 0.

Проанализируем высказывания Л—D в примере 2.1 с точки зрения их «внутреннего строения». Высказывания Л и С можно назвать простыми.

Высказывания В и D являются сложными. Действительно, высказывание В получено из простого высказывания А с помощью стандартной конструкции русского языка «неверно, что…».

Высказывание D получено из высказываний Л и С с помощью конструкции «если…, то…». Этот простой пример показывает, что в языке (русском и любом другом) существуют способы построения одних высказываний из других. Математическая логика изучает способ образования одних высказываний из других с помощью логических операций.

Логической операцией называется построение из данных высказываний нового высказывания. Знаки логических операций называются логическими связками.

Пусть А и В — произвольные высказывания. Рассмотрим пять логических операций, сведенных в табл. 2.1, которые являются основными в математической логике.

Таблица 2.1

Основные логические операции.

В этих операциях интересует не содержательный смысл высказывания, а только его логическое значение: «истина» или «ложь». Поэтому логические операции рассматриваются как средство вычисления логического значения сложного высказывания по логическим значениям составляющих его простых высказываний.

Таблица 2.2 показывает, какие логические значения принимают высказывания, полученные с помощью пяти основных логических операций, на всевозможных наборах, А и В значений 1 или 0. Такая таблица называется таблицей истинности.

Таблица 2.2

Таблица истинности для основных логических операций.

Прокомментируем смысл введенных логических операций, их обозначения и таблицы истинности (см. табл. 2.2).

Отрицание — это логическая операция, применяемая к сложному или простому высказыванию. Высказывание, А истинно, когда ложно А, и ложно, когда истинно, А (см. табл. 2.2, столбец 3). Отрицание может также обозначатся -.А.

Четыре других логических операции являются бинарными, т. е. применяются к двум высказываниям.

Конъюнкция соответствует союзу «и» в русском языке. Высказывание, А л В истинно, когда оба высказывания, А и В в логической операции истинны, и ложно во всех остальных случаях (столбец 4). Конъюнкция может обозначаться также, А & В.

Дизъюнкция соответствует союзу «или». Высказывание A v В истинно, когда хотя бы одно из высказываний истинно; ложно, когда ложны оба высказывания А, В (столбец 5).

Импликация соответствует конструкциям «если…, то…», «из… следует…». Высказывания, образующие импликацию, А —> В, имеют специальные названия: А — посылка, В —

заключение

. Импликация ложна тогда и только тогда, когда ее посылка, А истинна, а ее заключение В ложно (столбец 6). Это свойство импликации часто формулируют в виде принципа «из истины не может следовать ложь».

Строки табл. 2.2 позволяют сформулировать в виде принципов еще два свойства импликации: «из ложного утверждения может следовать все что угодно» (см. строки 1 и 2), «истинное утверждение может следовать из чего угодно» (см. строки 2 и 4).

С импликацией, А —> В связывают еще три импликации: В —> А, В, В А. Первую из них называют обратной к импликации, А —> В, вторую — противоположной, а третью — обратно-противоположной.

Заметим, что в обычном языке в предложении вида «если А, то В» высказывания, А и В связаны друг с другом по контексту. В определении импликации это совершенно необязательно. Может существовать импликация вида «если сегодня четверг, то дважды два равно пяти», которая (поскольку ее заключение ложно) будет истинна во все дни, кроме четверга, а в четверг — ложна.

Эквивалентность, или равносильность высказываний, истинна тогда и только тогда, когда образующие ее высказывания А, В имеют одинаковые логические значения, т. е. оба истинны или оба ложны (столбец 7). Кроме Л В, для обозначения эквивалентности используются также символы А ~ В, А В.

Как будет показано ниже, перечисленные выше операции могут быть применимы к произвольному количеству высказываний.