Функция распределения. 
Информатика и математика

Функция распределения является универсальным способом задания как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Функция распределения F (x) представляет собой вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем х, т. е.

где Р означает вероятность, ах — любое действительное число.

Таким образом, для любой случайной величины функция распределения F (x) — это функция одной переменной х, областью определения которой является вся действительная ось от -°о до +°° (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Вид функции распределения случайных величин:

а — непрерывной; б — дискретной Функцию распределения также называют интегральной функцией.

Для дискретной случайной величины X функция распределения F (x) может быть определена равенством.

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что для нахождения F (x) дискретной случайной величины нужно сложить вероятности, соответствующие тем значениям х" которые меньше заданного значения х.

Функция распределения дискретной случайной величины X разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение х,.

Если, к примеру, дискретная случайная величина X принимает четыре значения х_х, х₂, х₃, х₄ в возрастающем порядке с вероятностями соответственно р_ь р₂, р₃, р₄, то функцию распределения этой случайной величины X можно записать следующим образом:

График функции распределения F (x) дискретной случайной величины представляет собой прерывистую ступенчатую линию, которая проходит горизонтально на каждом интервале, не содержащем значений х" и делает скачки, равные по величине р, в точках х, (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения имеет следующие свойства.

• 1. Так как F (x) представляет собой вероятность, то значения функции лежат в диапазоне 0 < F (x) < 1.
• 2. F (x) — монотонно неубывающая функция на всей числовой оси, т. е. если х_г < х₂, то F (x_a) < F (x₂).
• 3. Функция распределения непрерывна слева (на рис. 6.3 данное обстоятельство показано стрелочкой).
• 4. Зная F (x), легко определить вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [х_а, х₂) по формуле

5. В бесконечности слева она равна нулю, а справа единице.

Пример 6.4.

Партия изданных учебников по криминалистике содержит 10% книг с полиграфическим браком. Из партии наугад выбирается пять учебников. Построить ряд распределения случайной величины, равной числу качественных учебников среди выбранных. Найти функцию распределения этой случайной величины и вероятность того, что будет выбрано более одного качественного учебника.

Решение. Пусть X — случайная величина, равная числу качественных среди пяти наугад взятых книг. Следовательно, нужно найти функцию распределения F (x) случайной величины X и вероятность Р (Х > 1). Заметим, что случайная величина X может принимать значения т = 0,1, 2, 3,4, 5.

Найдем их вероятности по формуле Бернулли.

Вычислив вероятности, получим: р_{0 5} = 0,1; р_х 5 = 0,45; р₂, 5 ⁼ = 0,0081; р_{3 5} = 0,0729; р_{4 5} = 0,32 805; р_{5 5} = 0,59 049.

Построим ряд распределения.

По определению функции распределения.

Из ряда распределения очевидно, что:

прих< О, F (x) = 0;

при0<�х<1 F (x) = p₀ = 0,1;

при 1 < х < 2 F (x) = Po + Pi = 0,46;

при2<�х<3 F (x) = р₀ + pi +р₂ = 0,856;

при 3 < х < 4 F (x) = Ро + Pi + р₂ + Рз = 0,8 146;

при 4 < х < 5 F (x) = Ро +Pi + Рг ⁺Рз + Рл = 0,40 951;

прих > 5 F (x) = 1.

Перепишем.

По таблице распределения построим график функции распределения F (x).

Тогда искомая вероятность

Пример 6.5.

Случайная величинах задана рядом распределения.

Найти MX, DX, аХ, а также М (2Х +1) и D (2X +1).

Решение. Из данных, приведенных в таблице, вычисляем математическое ожидание.

Дисперсию DX найдем двумя способами.

1. По определению дисперсии.

2. По упрощенной формуле.

Тогда среднее квадратическое отклонение

Пример 6.6.

В урне шесть белых и четыре черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину X число извлеченных белых шаров, составить ряд распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Так как шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или отсутствия события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна р = — = 0,6.

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.

Для составления ряда распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

• 1) Белый шар не появился вовсе: р_{0 5} = (1 — р)⁵ = 0,01.
• 2) Белый шар появился один раз:

• 5!
• 3) Белый шар появится два раза: р₂, 5 = ^ ' 0,6²-0,4³ = 0,23.
• 5!
• 4) Белый шар появится три раза: р_{3 5} = ^ *^0,6³ -0,4² =0,35.

• 5i
• 5) Белый шар появится четыре раза: р_{4 5} = ^0,6⁴ 0,4^J = 0,26.
• 6) Белый шар появился пять раз: р_{5 5} =0,6⁵ =0,08.

Получаем следующий ряд распределения случайной величины X.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию.