Преломление и отражение света на сферической поверхности

Простейшим элементом любой оптической системы является сферическая поверхность раздела двух оптически однородных сред (с показателями преломления п и п', рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Для того чтобы полученные результаты были справедливы как для выпуклой, так и для вогнутой поверхности, всем отрезкам и углам приписываются знаки в зависимости от их направлений отсчета. Точка S служит источником света. Прямая SS', проходящая через точечный источник света S и центр кривизны сферической поверхности N, называется оптической осью сферической поверхности. Так как луч.

SN падает на поверхность раздела перпендикулярно, то он проходит далее не преломляясь. Для построения изображения источника света S проведем произвольный луч SA, который в точке А преломится и пойдет далее по направлению AS'. Ограничимся только параксиальными лучами (или иначе, приосевыми), образующими с оптической осью малый угол. Тогда SA = SH = -a, AS' = HS' = а', так как все отрезки, отмеренные от вершины сферической поверхности Н по лучу, считаются положительными, а против луча — отрицательными. Кроме того, будем считать утлы, отсчитываемые от оптической оси или перпендикуляра к сферической поверхности по часовой стрелке, положительными, а против часовой стрелки — отрицательными. Для параксиальных лучей все углы, обозначенные на рисунке, малы, и поэтому синусы и тангенсы этих углов можно принять равными самим углам. Рассмотрим треугольники SAN и NAS' (см. рис. 1.8). В этих треугольниках согласно теореме синусов.

Используя полученные соотношения, можем составить равенство:

но SN = -а + R, AS' = a', SA = -a, NS' = a' -R для параксиальных лучей. Подставляя эти выражения в полученное соотношение, приходим к формуле.

или.

Последняя формула показывает, что произведение п—-— при пре;

U R)

ломлении на сферической поверхности сохраняет свою величину Q. Эту величину называют нулевым инвариантом Аббе.

Для многих целей последние формулу удобнее представить в виде.

Эта формула позволяет найти положение изображения точечного источника, если известно расстояние от этого источника до преломляющей поверхности, показатели преломления п, п' и радиус кривизны этой поверхности. Поскольку указанная формула справедлива для 1б любого параксиального луча, для всех параксиальных лучей, исходящих из одной точки, а' одинаково. Это означает, что гомоцентрический (т. е. исходящий из одной точки) параксиальный пучок лучей после преломления на сферической поверхности преобразуется в гомоцентрический же пучок (сходящийся в одной точке). Такое изображение (когда все лучи, исходящие из одной точки, собираются в одной точке) называется стигматическим.

Точка на оптической оси сферической поверхности, в которой сходятся после преломления лучи, параллельные оптической оси (т. е. лучи, идущие из бесконечно удаленной точки), называется ее задним фокусом. Соответственно, расстояние до фокуса от вершины сферической поверхности называется фокусным расстоянием /. Если параллельные лучи сходятся, то фокус действительный, а если расходятся, то мнимый (это точка, где сходятся продолжения лучей). Из формулы сферической преломляющей поверхности следует, что при -а = оо

/ — заднее фокусное расстояние; при а' = оо

/— переднее фокусное расстояние.

Фокусные расстояния сферической поверхности различны по знаку и не равны по абсолютному значению (так как п' Ф п).

Формула сферической преломляющей поверхности может быть использована и для описания явления отражения от сферической поверхности. Для того чтобы воспользоваться этой формулой, надо предварительно выяснить, что формально означает переход от преломления к отражению. Из закона преломления следует, что замена п' на -п позволяет получить закон отражения:

Используя этот формальный прием, получаем формулу сферического зеркала:

где / = R/2 — фокусное расстояние сферического зеркала. Действительно, при а (а')—>/ = — (а') —> оо а' (а) —" оо. Если точечный источник света поместить в фокус сферического зеркала (а = /), то отраженный пучок будет параллельным (а' = оо).