Определение. 
Логика естествознания

Учение об определении в математике, которое можно считать общепризнанным в настоящее время, резюмируется так: существуют определения посредством постулатов, а также номинальные определения. Посредством постулатов определяются первые понятия математики. Определение посредством постулатов заключается в том, что принимают как истины, не подлежащие доказательству или же просто как условные соглашения, некоторую систему постулатов: постулаты эти представляют собою не что иное, как отношения между символами, смысл которых неизвестен. В таком случае постулаты в своей совокупности определяют смысл символов, при чем последние становятся исходными понятиями математической системы. Символы, фигурирующие в постулатах, обозначают собою все то, что формально удовлетворяет системе отношений, принятых в качестве постулатов. «То, что удовлетворяет принятой системе постулатов», рассматривается как общее понятие, и подобные понятия считаются, таким образом, определенными. Например, дан ряд постулатов о взаимоотношении точек, прямых линий и плоскостей. Но что понимается под понятиями «точка», «прямая» и проч. и как определяются указанные понятия? Как уже сказано, в абстрактной геометрии под точками, линиями и плоскостями понимаются не какие-либо определенные конкретные образы, но всякие образы, числовые символы и проч., удовлетворяющие принятым постулатам. Точки, линии, плоскости и все основные понятия вообще рассматриваются просто как носители известных отношений, выраженных в постулатах. Система постулатов, таким образом, определяет систему общих понятий, удовлетворяющих постулатам (см. Вебер и Велъштейн: «Энциклопедия элементарной математики», том 3; см. также Энрикес «Проблемы науки», стр. 142 русск. пер.).

Понятия и термины, производные от первых, определяются номинально. Номинальное определение рассматривается, как уравнение между новым термином, с одной стороны, и комбинацией терминов, уже известных, — с другой. Новый термин называется определяемым, а комбинация известных терминов — определяющим. Новый термин получает смысл лишь с того момента, когда он приравнивается комбинации уже определенных терминов и становится после этого названием, т. е. сокращенным обозначением для комбинации терминов. Определяющее всегда может быть подставлено на место определяемого во всяком суждении без изменения смысла последнего; поэтому номинальное определение или определение имени дает не новую истину, а только удобный способ сокращенно выражаться. Таким образом, номинальное определение есть просто соглашение относительно значения имени.

Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что ни определение посредством постулатов, ни номинальное определение не определяют ровно ничего: они не определяют никакого термина или понятия и не могут вовсе рассматриваться как определения. Если дана, как в абстрактных постулатах, форма отношений, при чем объекты, удовлетворяющие указанным отношениям, не даны и безразличны, то нельзя говорить, что отношения определяют объекты, но следует говорить, что объекты не нуждаются вовсе в определениях. Объекты, удовлетворяющие принятой системе постулатов, вполне безразличны для абстрактной теории; она, строго говоря, вовсе не знает их и не нуждается в них. Но именно потому, что абстрактная геометрия ничего не подразумевает под понятиями «точка», «линия» и проч., последние понятия остаются неопределенными. Наконец, если все-таки рассматривать постулаты, как определения, то одно понятие должно определяться через посредство другого, другое через посредство третьего и т. д.; но если не дано ни одно понятие, то неизбежен порочный круг в определении: например, понятие прямой определяется через понятие точки, а понятие точки опять через понятие прямой и т. д. Таким образом, определения первых понятий невозможны; но они и не нужны: в наглядной геометрии первые понятия даны интуицией; постулаты при этом не определяют понятий, но только описывают то, что дано в чистом наглядном представлении; абстрактная же геометрия, как сказано, вовсе не должна знать, что представляют собою ее основные понятия, так как смысл этих понятий не входит в дедуктивную связь математических положений. Отсюда следует, что постулаты не могут рассматриваться как определения.

Теперь перейдем к номинальным определениям, в которых новый термин определяется с помощью комбинации терминов уже известных. При этом предполагается, что комбинация известных терминов сама по себе может иметь какое-либо значение. Но это нелепо: простая постановка рядом или соединение в одно целое нескольких слов или знаков не создает никакого понятия и вообще не имеет никакого смысла. Несколько известных терминов в определении не просто соединены тем, что поставлены рядом, но представляют собою описание некоторого построения, конкретного или абстрактного, или же результата построения. Номинальное определение не выражает поэтому смысла математических определений; означенный смысл определения адекватно может быть выражен так: производится некоторое построение; результат указанного построения получает такое-то наименование.

Можно рассуждать и так: определить название, значит, назвать некоторое понятие. Для того, чтобы название имело смысл, необходимо, чтобы был налицо объект, который должен быть назван, причем таким объектом может быть также понятие. Поэтому для определения какоголибо термина в математике необходимо и достаточно определить понятие. Определение названия сводится, таким образом, к определению понятия, а последнее определяется, как указано, при помощи построения.

бб Таким образом, определение необходимо связано с построением; указанное построение может или непосредственно выполняться интуицией или же быть абстрактным построением, т. е., согласно предыдущей статье (III, 1), быть выводом из постулатов. По большей части математики, определяя новый термин, приравнивают его соединению нескольких уже известных терминов и более ни о чем не заботятся, предоставляя на долю интуиции решать, возможно ли построение, намеченное соединением терминов, и каким образом его выполнить. Такой прием нельзя назвать неправильным, так как он нисколько не исключает совершенной строгости дальнейших дедукций. Но в таком случае необходимо признать, что подобные определения в сущности имеют значение постулатов, основывающихся непосредственно на интуиции. Однако в строго дедуктивной системе, в которой все первые предложения должны быть выражены явно, никакое новое построение не может быть независимым обращением к интуиции, но только дедукцией из принятых постулатов. Следовательно, в строго дедуктивной системе возможны только определения посредством дедукций.

Сделаем и дальнейшие выводы отсюда. Существенную часть определения представляет именно дедукция из постулатов; что касается присвоения особого названия построенному таким образом понятию, то оно имеет второстепенное значение; название может быть или не быть принято. Условия теорем, как построения и, следовательно, дедукции из постулатов, вполне эквивалентны определениям, отличаясь от последних только отсутствием особого названия для образа или понятия, полученного в результате построения.

Так как определение есть вывод из постулатов, то оно не может уже более рассматриваться как условное соглашение. Впрочем, если постулаты рассматриваются, как условные соглашения, то и определение имеет такую же природу, но, во всяком случае, определение не является новым соглашением, независимым от прежних. Присоединение к понятию того или иного сочетания знаков в качестве термина, конечно, является условным соглашением; но подобное соглашение относительно термина вовсе не касается смысла определяемого понятия и потому может быть не принимаемо во внимание, тем более, что присоединение названия может и вовсе отсутствовать в определении.

Мы видим, что определения имеют ту же природу, что и постулаты; отметим поэтому, что, если постулаты признаются синтетическими суждениями, таковыми же должны быть признаны и определения.