Основные и неосновные зависимые начальные значения

Для сложных схем со многими накопителями энергии число независимых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них.

Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные значения называют неосновными.

В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.7. Она содержит три индуктивных элемента и один емкостной. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия):

• 1) *i (0+) = 0;
• 2) i₂(0₊) = 0;
• 3) i₃(0₊) = 0;
• 4) u_c(0₊) = 0.

Рис. 8.7

Из них три являются основными и одно — неосновным. Выбор основных значений здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неосновным будет третье.

Пример 78.

Убедимся в том, что для схемы на рис. 8.7 характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третью степень.

Решение. Составляем выражение для входного сопротивления:

Отсюда.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень.

Определение степени характеристического уравнения

Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация позволяет определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений в послекоммутационной схеме после максимального ее упрощения и не зависит от вида ЭДС источников ЭДС в схеме.

Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединенные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.

Применительно к схеме на рис. 8.8, а последовательно включенные L{ и VI следует заменить на Lj = L{ + L{'± 2 М, если между ними есть магнитная связь (если нет магнитной связи, то М = 0), а конденсаторы СоСо'.

емкостью С3, С3, С₄ — на конденсатор емкостью С₅ = С₄ + ,.

С₃ +С₃

Рис. 8.8.

Начальное значение напряжения на С₅ равно начальному значению напряжения на С₄.

В результате упрощений схемы на рис. 8.8, а получаем схему на рис. 8.8, б, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор. Все три независимых начальных значения — основные. Следовательно, характеристическое уравнение будет третьей степени.

Обратим внимание на то, что степень характеристического уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными элементами схемы или она отсутствует.

Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.9, а), либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только источники ЭДС (рис. 8.9, б). Положим, что после максимального упрощения схемы в емкостный контур входит п конденсаторов. Если учесть, что по второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на ветвях контура равна нулю, то только на п — 1 конденсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.9, в) либо часть ветвей с индуктивностями, а другая с источниками тока (рис. 8.9, г). Положим, что в индуктивный узел сходится т ветвей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т — 1 индуктивностях токи могут быть заданы произвольно.

Рис. 8.9.

Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения схемы степень характеристического уравнения может быть определена путем подсчета величины n_L + n_c-y_L-k_c, где n_L—число индуктивных элементов в схеме; п_с — число конденсаторов; y_L — число индуктивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; к_с — число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть заданы произвольно.

Замечания.

• 1. Если схема с источником тока имеет несколько последовательных участков, содержащих параллельно соединенные ветви с R, L, С, то для каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (свободные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку его сопротивление равно бесконечности).
• 2. Если в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники (см. параграф 8.63), содержащие элементы R, L, С, между которыми выполняются определенные соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки (на эту тему рекомендуется решить пример 30 из вопросов для самопроверки).