Постоянная распространения и волновое сопротивление

Как указывалось ранее, постоянная распространения

Для линии постоянного тока w = 0 и потому.

Для линии синусоидального тока без потерь (Я₀ = G₀ = 0).

Запишем формулы для приближенного определения (3 и, а в линии Кп G

с малыми потерями, когда —— «1и —— «с 1. С этой целью перепишем.

wLq wC₀

формулу (11.19) следующим образом:

и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда (т. е. воспользуемся соотношением Jl + x ~ 1 + 0,5л:). В результате получим.

Следовательно,.

Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (со = 0) из (11.17) следует, что.

Для линии синусоидального тока без потерь (R₀ = G₀ = 0).

D.

Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда —— «: 1.

wL₀

и -^L":l,.

шС₀

Для реальных воздушных линий |Z_B | = 300 600 Ом, для кабельных.

|Z_B | = 50 н- 200 Ом. Угол ф имеет емкостный характер.

Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии.

Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при х = О напряжение й₁ и ток Д. Составим уравнения для определения постоянных и А₂ через й_г и Д. Из (11.13) и (11.18) следует (х = 0):

Для определения А₁ из (11.28) вычтем (11.29):

где А_г — модуль; |/₀ — аргумент комплекса А_г; А₂ — модуль; |/_п — аргумент^[1] комплекса Л₂.

Подставим (11.30) и (11.31) в (11.13):

Введем гиперболические функции. Известно, что Поэтому.

Следовательно,.

Аналогичные преобразования, примененные к (11.16), дают.

Формулы (11.34) и (11.35) позволяют найти комплексы напряжения и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала.

Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих формулах является комплексное число ух = ах +j|3х.

Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса от комплексного аргумента

Гиперболические функции от комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Заменим ух в уравнениях (11.32) и (11.33) на ах +jfix:

По таблицам показательных функций найдем значение е⁰^ и е^_оос и на комплексной плоскости (рис. 11.3) отложим векторы е^е)^ и e~^QXer^. Первый из них по модулю равен е®* и относительно оси действительных значений повернут на угол (Зх против часовой стрелки; второй по модулю равен е^_ах: и относительно оси действительных значений повернут на угол (1х по часовой стрелке.

Рис. 11.3.

Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а гиперболический синус — их полуразности.

• [1] Индексы «о» и «п» — начальные буквы слов «отраженная» и «падающая» волны (см. параграф 11.8).