Реализация передаточных функций цифровых фильтров

Известно несколько различных способов реализации ЦФ [11]. Рассмотрим один из вариантов так называемого прямого метода. Он имеет преимущества в стоимости при K (z) низких порядков.

Передаточной функции.

соответствует разностное уравнение.

Уравнению (П8.8) отвечает схема на рис. П8.8. Стрелки —" в узлы левой части рисунка поясняют, что сигналы х (п — 1), х (п — 2), … поступают в эти узлы с задержкой на Т, 2 Т, … и т. д. Аналогично стрелки —> в узлы правой части схемы поясняют, что в соответствующие узлы сигналы у (п — 1), у (п — 2), … поступают с задержкой в Т, 2 Т, … и т. д.

1 — z~^.

В качестве примера реализуем K (z) =——-.

1- —*-!+ —Z-² 15 15.

Схема показана на рис. П8.9. Соответствие схемы на рис. П8.9 заданной K (z) проверим по формуле Мезона (см. параграф П1.1).

где Р_г = 1, р₂ = -1 z^_1z^_1. Граф имеет две петли обратной связи с пере- 2 3.

дачами —z^_1 и—Обе петли касаются прямых путей, поэ;

(2 3

тому = Д₂ = 1. Определитель графа, А = 1−1 — z^_1 z~² I, поэтому.

У_z~^

у (п) = х (п)-«-~-, как и задано.

1-— z-!+—z-² 15 15.

Рис. П8.8

Рис. П8.9

Устойчивость работы цифровых фильтров

Работа рекурсивных цифровых фильтров за счет наличия в них обратной связи может оказаться неустойчивой. Рассмотрим простой способ исследования устойчивости работы рекурсивных фильтров по величине и знаку коэффициентов Ь_ь Ъ₂, Ь₃, … знаменателя его передаточной функции K (z) (формула П8.2).

Исходим из того, что рекурсивный фильтр сформирован по его аналоговому прототипу. Способ исследования будем иллюстрировать простым примером. Пусть знаменатель K (z) рекурсивного фильтра равен 1 — Ь_гъ^А — b₂z~². Поступаем так: перепишем знаменатель.

и приравняем его к нулю. Определяем численные значения корней уравнения z² — Ь_ггb₂ = 0. Они равны.

Далее исходим из того, что полюсы аналогового прототипа р_г и р₂ и полюсы и z₂ цифрового связаны соотношением

Но.

Ряд для In z_k сходится очень быстро, так что можно ограничиться.

2 z_k +1.

первым членом ряда, и потому положим р_к =——.

Т z_k-1.

Множитель 2/Т в последнем выражении больше нуля, и потому он не влияет на вопрос о том, в левой или в правой части плоскости р оказываются корни р_к. Поэтому вместо комплексной плоскости р будем проводить исследование устойчивости с помощью комплекс- 2.

ной плоскости р' = —р. Координаты точек плоскости р' будут равны координатам точек плоскости р, умноженным на Т/2.

Далее будем оперировать с плоскостью р' и с плоскостью z. Координаты точек р_к и z_k этих плоскостей связаны двумя взаимно обратными преобразованиями:

и.

Формулу (П8.10) получим, если решим (П8.9) относительно z_k. Рассмотрим соответствие точек плоскости р' с точками плоскости z (рис. П8.10). Точке р_к = -1 соответствует точка z_k = 0 (т. е. начало координат плоскости z). Мнимой оси плоскости р', т. е. величине р' = jk (где к — действительное число) соответствует окружность единичного радиуса на плоскости z. Действительно, точки этой окружности будут описываться выражением

Рис. П8.10

Точки, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4, лежащие внутри окружности единичного радиуса на рис. ЗЛО, б, соответствуют точкам 1,2, 3,4 на рис. П8.10, а, лежащим в левой части плоскости р'.

Точка 1: z₁ = 0,5 + j0,5. Ей соответствует р{ = 2,242е~1¹¹⁷°.

Точка 2: z₂ = 0,5 — j0,5. Ей соответствует р'₂ = 2,242е1^П7°.

Точка 3: z₃ = -0,5 +j0,5. Ей соответствует р'_ъ = 0,445е~1^и7°.

Точка 4: z₄ = -0,5 -j0,5. Ей соответствует р₄ = 0,445е^¹¹⁷°.

Верхней части правой полуплоскости р' (см. одинаковую штриховку на рис. П8. 10, а и б) соответствует нижняя, а нижней части правой полуплоскости соответствует верхняя часть правой полуплоскости z.

Таким образом, если все полюсы z_k K (z) окажутся внутри единичной окружности на плоскости z, то работа рекурсивного цифрового фильтра будет устойчива (подобно тому как будет устойчива работа аналогового фильтра прототипа, у которого все полюсы будут в левой полуплоскости р').

Если же хотя бы один полюс z_k окажется не внутри, а снаружи единичной окружности на плоскости z, то работа рекурсивного цифрового фильтра будет неустойчива и надо будет изменить интервал дискретизации Т, чтобы работа фильтра стала устойчивой (от величины Т зависят модули и знаки коэффициентов Ь_ь Ъ₂, … в знаменателе K (z)).

В качестве примера рассмотрим два случая, в первом примем, что b_x = -1 и Ъ₂ = 0,5, во втором, что b_Y = -1, Ъ₂ = -0,5. По формулам (П8.9) и (П8.10) в первом случае г_г = 0,366 и z₂ = -1,366 (при этом р{ = -2,154 и р₂ = 0,154) — работа цифрового фильтра будет неустойчива. Во втором z₁ = -0,5 + ;0,5 и z₂ = -0,5 — ;0,5 (при этом р{ = 0,445е^¹¹⁷° и р₂ = = 0,445eJ^U7°) — работа цифрового фильтра будет устойчива.

Если полином знаменателя K (z) будет иметь не второй, а третий или четвертый порядок, то корни его после небольших преобразований определим через радикалы. При пятой и более высоких степенях полинома знаменателя корни придется определять с помощью ЭВМ.

В заключение отметим, что в рекурсивном фильтре при определенных условиях возможно возникновение своеобразного автоколебательного процесса: выходной сигнал у (0 возникает при отсутствии входного сигнала x (t) на входе фильтра. Такой процесс в фильтре может возникнуть, если в ячейках памяти фильтра сохранены значения величин х (п) и у (п) предшествующего режима работы фильтра, если часть полюсов K (z) находится вне окружности единичного радиуса и если действует генератор импульсов синхронизации.