Тренд-сезонные модели (аддитивная и мультипликативная)

Для построения прогноза доходов от продаж были использованы аддитивная и две мультипликативных модели, по которым были рассчитаны прогнозные значения, результаты которых представлены на Рис. 8.

Аддитивная модель:

Yp (t) = Tср ® + K1(t), t = 1 … N, r = 1… R.

K1(t)= Yфакт (t) — Yср®, t = 1 … N, r = 1… R.

Мультипликативная модель № 1:

Yp (t) = Tср ® * К₂ (t), t = 1 … N, r = 1… R.

K₂(t) = Yфакт (t) / Yср®, t = 1 … N, r = 1… R.

Мультипликативная модель № 2:

Yp (t) = T (t) * S (t), t = 1 … N.

S (t)= Yср (t) / Yср, t = 1 … N,.

где.

Yp (t) — расчетное значение показателя.

Yфакт (t) — фактическое значение показателя.

Yср — среднемесячное значение фактического показателя за весь период.

Yср ® — среднемесячное значение фактического показателя для каждого года r.

Yср (t) — среднее значение фактического показателя по конкретному месяцу за весь период Т (t) — значение показателя, рассчитанное по тренду.

Tср ® — среднемесячное значение по тренду для каждого года r.

К_i (t) — отклонение от среднего.

S (t) — коэффициент сезонности.

N — число месяцев в рассматриваемом периоде,.

R — число лет в рассматриваемом периоде Была посчитана ошибка прогноза (разница между текущим значением и прогнозом) и среднее абсолютное отклонение (MAD) — изменение всех ошибок прогноза для модели. Ошибка прогноза составила: для аддитивной модели 4,4%, для мультипликативных — 12,5% и 9,3% соответственно.

Рис. 8. Прогнозы на 2011 год по трендовым моделям с использованием коэффициентов сезонности, млн. руб.

Все рассмотренные модели, описывающие поведение временного ряда не очень точно описывают фактические данные. Наиболее близка к исходным данным аддитивная модель. В данном примере ошибка возникает в силу сложной сезонности продукции.

Расчет среднеквадратической ошибки показал, что наиболее точный результат одновременно и по априорному, и по апостериорному анализу дают аддитивная модель при полиноминальном тренде и мультипликативная модель с дифференцированными по годам коэффициентами сезонности, так как у них наименьшее значение MAD.

Учитывая влияние кризиса 2008 г. на показатели объема продаж и на строительную отрасль в целом, был проведен прогноз по данным 2009;2010г. Результаты, представленные в таблице 2 и на рис.10−11, показывают лучшее приближение модели по проведенному априорному анализу.

Таблица 2.

Распределение остатков (ошибок) модели.

№.	Интервал ошибок.	Частота ошибок.
п/п.	от.	до.	п/п.	доля.	нормаль.
	— 45.	— 35.		4%.	1%.
	— 35.	— 25.		4%.	4%.
	— 25.	— 15.		8%.	15%.
	— 15.	— 5.		17%.	29%.
	— 5.			58%.	30%.
				4%.	16%.
				4%.	4%.
ИТОГО.		100%.	99%.

Рис. 9. Гистограмма остатков (ошибок) модели

Анализ продаж, и прогноз, построенный по данным 2009 — 2010гг. показал наилучший результат по критерию адекватности. Как видно из таблицы 2 средняя ошибка априорного ретроспективного прогноза составила 4,4%,. Маленькая величина ошибки позволяет сделать вывод о возможности использования ее для получения прогнозных оценок, что подтверждается и гистограммой остатков (см. рис. 9), показывающей, что ошибки модели распределены случайным образом, а основная их часть группируется в области нулевых значений.

А теперь получим прогнозные оценки по отдельным видам ассортимента компании. Построим помесячные оценки объемов продаж по отдельным привалирующим видам ассортимента на основе трендовых моделей с различным учетом сезонной компоненты.

Ниже на рис. 10 и рис. 11 приведен стандартный тренд-сезонный анализ продаж высокомарочного портландцемента ПЦ400 в натуральном и в денежном выражении, который был построен по данным двух лет (с 2009 по 2010) на 2011 г. и показал, допустимый результат по критерию адекватности. Средняя ошибка ретроспективного прогноза составила в первом случае 4,6% (млн. руб) а во втором 2,9%, (см. приложение 1) что вполне приемлемо для использования полученных прогнозных оценок для принятия управленческих решений, что подтверждается и гистограмой остатков (см. приложение 1).

Рис. 10. Прогнозы на 2011 год марки цемента ПЦ400 по трендовым моделям с использованием коэффициентов сезонности, млн. руб.

Рис. 11. Прогнозы на 2011 год марки цемента ПЦ400 по трендовым моделям с использованием коэффициентов сезонности, тыс. тонн.

Заметим, что при выборе ретроспективного горизонта были исключены данные 2008 и 2009 года, в прогнозах на 2011, 2012 годы, которые изменяли направление тренда и не соответствовали наметившемуся (как показал анализ рынка) и, хоть и незначительному, но все же улучшению ситуации на самом рынке и увеличению продаж предприятия. Это позволило в последующем использовать при прогнозе трендовые модели с учетом коэффициента сезонности. Были получены помесячные прогнозные оценки объемов продаж на 2011;2012г. с применением моделей трендового регулирования.

Аналогично мы строим прогноз продаж цемента марки ПЦ 500 на 2011 год, а также ПЦ400 и ПЦ500 на 2012 год. Аддитивная модель вновь показывает наиболее точный результат, что вполне приемлемо для использования полученных прогнозных оценок для принятия управленческих решений, что подтверждается и гистограммой остатков (см. все результаты в Приложение 1).

Теперь, пользуясь фактическими данными 2011 года, мы можем апостериорно оценить помесячные оценки объемов продаж.