Структура математических теорий

Наиболее исследованы в настоящее время структуры теорий математики и математической логики. Значительных результатов в области изучения структуры теорий добился коллектив математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Этот коллектив поставил целью представить все существующие математические теории как некоторые комбинации абстрактных структур, поскольку исходные понятия почти всех математических теорий можно выразить в терминах абстрактной теории множеств, а сами эти теории рассматривались как аксиоматически построенные системы. Абстрактные структуры в общей форме отображают определенные отношения и закономерности объективного мира. Именно поэтому они могут применяться для исследования этого мира.

Новый структурный подход к математике, при котором она рассматривается как наука, имеющая непосредственным предметом изучения абстрактные структуры, дает возможность глубже понять классификацию и строение математических теорий. В основе этого подхода лежит понятие абстрактной математической структуры, которое раскрывается в программной статье Н. Бурбаки «Архитектура математики»: «Чтобы определить структуру задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы… затем постулируют, что данное отношение или отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их „природы“)» [23].

Может показаться, что при аксиоматическом подходе к теории все внимание обращается на дедукцию следствий из аксиом. Нельзя отрицать, что сущность математики иногда видят не столько в ее предмете, сколько в методе. Несмотря на то, что дедукция играет доминирующую роль в построении математического знания, она не дает полного представления ни о специфике, ни о структуре математических теорий, хотя анализ логических правил и принципов математических рассуждений входит в задачу исследований математической логики. В этих целях она отображает содержательные рассуждения в формализованных логических языках, которые свободны от неясностей и неточностей обычного языка. Но, подчеркивает Н. Бурбаки, уточнение словаря и синтаксиса математического языка, хотя и действительно необходимо, на самом деле составляет лишь одну из сторон аксиоматического метода, притом наименее интересную[24].

С формальной точки зрения все высказывания, фигурирующие в теории, могут претендовать на роль аксиом, а теория рассматриваться как система высказываний, замкнутых для дедукции. Каждое множество высказываний, которое содержит все свои логические следствия, будет представлять замкнутую систему, или теорию [25]. С помощью двух исходных понятий — осмысленного высказывания и следствия — можно, как показал А. Тарский, получить весьма интересные результаты в области методологии дедуктивных наук, в терминах которой могут быть охарактеризованы такие важнейшие свойства математических теорий, как непротиворечивость, аксиоматизируемость, полнота и некоторые другие. Однако, зная только логический формализм теории, нельзя объяснить, почему исследователи предпочитают выбирать в качестве аксиом лишь некоторые высказывания, какими целями они руководствуются при их отборе, почему вопреки внешнему различию многие теории оказываются тождественными по своей структуре.

Ответ на эти вопросы можно найти в результате исследования основных структур, используемых в процессе создания математических теорий. В основе любой абстрактной структуры лежат одно или несколько отношений, в которых находятся элементы некоторого множества, причем конкретная природа этих элементов безразлична для математического познания. Именно отвлечение от конкретного содержания изучаемых предметов и их свойств и обеспечивает широкое применение математических методов в других науках. Вот почему понятие структуры играет первостепенную роль в математике.

Выделяют несколько фундаментальных типов математических структур:

Алгебраические — структуры, исходные отношения которых являются законами композиции (закон композиции — это отношение, когда два любых элемента множества однозначно определяют некоторый третий его элемент). Простейшей теорией подобного типа является теория групп, характеризуемая одним законом композиции, который в отношении к числам можно назвать умножением или сложением, применительно к векторам — геометрическим сложением и т. п. В принципе композиция может иметь любое конкретное содержание.

Структуры порядка — структуры, в которых рассматривается порядок следования элементов и сравнение их по величине, делимости и т. п.

Структуры топологического типа — структуры, которые в существенной степени опираются на понятия непрерывности и предела. Например, различные геометрические теории обладают топологической структурой.

Эти основные типы структур называют порождающими структурами. С их помощью можно проводить дальнейшую классификацию математических теорий по степени их общности.

Главную роль в общей классификации математических теорий играет идея иерархии структур, согласно которой многие из этих теорий возникают за счет комбинации нескольких основных, или порождающих, структур. Подобный принцип классификации теорий, основанный на переходе от первоначальных, порождающих структур к структурам сложным, объединяющим несколько структур, дает возможность выявить глубокие внутренние связи между теориями. При таком подходе отдельные теории и целые разделы математики располагаются не в порядке их исторического возникновения, а именно с точки зрения их структурного единства, в результате чего, например, теория простых чисел оказывается рядом с теорией алгебраических кривых. Но даже такой подход не свободен от недостатков, поскольку он, как отмечает Н. Бурбаки, является схематическим, идеализированным и застывшим [25]. В процессе развития математической науки могут быть выявлены новые, неожиданные связи между теориями и обнаружены неизвестные фундаментальные структуры. Поэтому свою концепцию Н. Бурбаки рассматривает как довольно грубое приближение к действительно существующей математике.

Основное значение теории алгебраических категорий состоит в том, что в ней обращается главное внимание на структурное сходство целого семейства однородных теорий. Например, с помощью категории всех групп выявляются наиболее существенные свойства обширного класса разнообразных групп.

Большая часть исследований структуры математических теорий опирается на аксиоматический метод, который используется для характеристики отношений в математической структуре. Аксиоматический метод объединяет казавшиеся не связанными математические теории, выявляет в них общие идеи и принципы, раскрывает единые черты в их строении. С помощью этого метода исследуются лишь результаты существующего, имеющегося знания, и по своему характеру нельзя выявить ни генезиса новых идей, ни движения математической мысли к новым результатам.