Радикалы решеточно упорядоченных колец

Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе [8] А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построенияим были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [4] подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.

Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.

Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [17]), которая говорит о том, что радикал идеала кольца Я является идеалом кольца Я.

В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича (см. [5]) радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержаще t муся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотент-ный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.

В работе В. А. Андрунакиевича [1] из класса наднильпотентных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича [2] появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.

В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [3] показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Я представляется в виде пересечения ан нуля торов Д-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.

Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на реше-точпо упорядоченные кольца (¿—кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.

М. А. Шаталова в работе [15] вводит понятия /-первичного и /-полупервичного /-идеала решеточно упорядоченного кольца (/-кольца) и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М'. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой.

В работе [16] М. А. Шаталова вводит поиятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. М. А. Шаталова показывает, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых/-колец с /-идемпотентной сердцевиной.

А. В. Михалев и М. А. Шаталова в работе [10] изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеаловдоказали, что он совпадает с множеством элементов /кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /идеалов и со множеством всех строго /-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой [11] и [12] содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.

Представляет интерес дальнейшее развитие теории радикалов в классе /колец, что приводит к необходимости решения следующих задач:

1) Получить характеризацию радикалов в классе /-колец с помощью односторонних /-идеалов. В связи с этим изучить свойства односторонних /-идеалов.

2) Охарактеризовать специальные радикалы с помощью односторонних /идеалов.

3) Изучить свойства решеточно упорядоченных модулей и получить характеризацию специальных радикалов с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей.

Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Андрунакиевич В. А. Первичные модули и радикал Бэра // Сиб. мат. журн., т.2, номер 6, стр.801−806, 1961.

2. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Специальные модули и специальные радикалы // ДАН СССР т. 147, стр.1274−1277, 1962.

3. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979.

4. Андрунакиевич В. А., Андрунакиевич A.B. Односторонние идеалы и радикалы колец // ДАН СССР, т.259 стр.11−15, 1981.

5. Биркгоф Г. Теория решеток, Москва, Мир, 1984.

6. Копытов В. М. Решетонно упорядоченные группы, Москва, Наука, 1984.

7. Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб., 33, номер 1, стр. 13−26, 1953.

8. Ламбек И. Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.

9. Михалев A.B., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178−184, 1989.

10. Михалев A.B., Шаталова М. А. Проективные и свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 11, номер 1, стр. 41−52, 1972.

11. Михалев A.B., Шаталова М. А. Свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 12, номер 4, стр. 477−487, 1972.

12. Салавова К. Радикалы колец с инволюцией 1 // Comment. Math. Univ. Carolinae, п. 18, pp. 367−381, 1977.

13. Фукс Jl. Частично упорядоченные алгебраические системы, Москва, Наука, 1965.

14. Шаталова М. А. и lj-колъца // Сибирский математический журнал, т.7, N°6, стр. 13 831 389, 1966.

15. Шаталова М. А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки, т.4, N-Q, стр.639−648, 1968.

16. Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings // Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594−603, 1965.

17. Arnautov V.l. Properties of one-sided ideals of topologocal rings // Buletinul Academiei de § tiin$e a Republicii Moldova, Matematica, n. l (60), pp. 3−14, 2006.

18. Bigard A., Keimel K., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, BerlinHeidelbergN.Y.: Springer-Verlag, 1977.

19. Birkhoff G., Pierce R.S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci., 28, pp. 41−69, 1956.

20. Johnson D.G. A structure theory for a class of lattice ordered rings // Acta Math, 104 n.2, pp.163−215, 1960.

21. Steinberg S.A. Lattice-ordered rings and modules // Ph. D. Thesis, Urbana, Illinois, 1970Публикации по теме диссертации.

22. Шавгулидзе Н. Е. Радикалы 1-колец и односторонние I-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 8. 233−245.

23. Шавгулидзе Н. Е. Специальные классы 1-колец и лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского // Вестник МГУ, 2010. №¦2, 42−44.

24. Шавгулидзе Н. Е. Специальные классы 1-колец // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, вып. 1. 157−173.9.