Некоторые вопросы теории весовых пространств и приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям

Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам теории весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и приложениям этой теории к исследованию первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом основное внимание уделено указанным приложениям: исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения, вопросы связанные с дифференциальными свойствами этого решения. Попутно получены некоторые результаты дополняющие известные факты теорий весовых пространствв частности, рассмотрены пространства, которые при р =2 характеризуют класс решений в зависимости от гладкости граничных данных.

Краевые задачи для вырождающихся уравнений, интерес к которым вызван их большим прикладным значением, рассматривались многими авторами. Один из плодотворных подходов к исследованию такого рода задач основан на использовании теории весовых пространств. Первые систематические исследования по теории весовых пространств и приложениям этой теории к вырождающимся уравнениям проведены в монографии Л. Д. Кудрявцева /16/. Там, в частности, было исследовано эллиптическое уравнение 2-го порядка со слабым вырождением. Дальнейшее развитие теория весовых пространств получила в работах С. В. Успенского, П. И. Лизоркина, Г. Н. Яковлева, Я. С. Бугрова, О.В.Бесо-ва, Я. Кадаеца А.Куфнера, В. Р. Портнова и др. С см. библиографию по этому вопросу в книге /I/ и обзоре /15/).

Существенный вклад в теорию весовых пространств внесла монография С. М. Никольского /I/, в которой на основании единого метода, разработанного автором (т.н.метода «регулярных мостов»), получены основные факты теории весовых пространств в ограниченных областях.

Приложениям теории весовых пространств к вырождающимся уравнениям посвящены работы А. А. Вашарина, П. Й. Лизоркина, Б^В.Мирошна, И. Г. Матвеевой, М. О. Отелбаева, Ю. В. Рыбалова.

Большое значение в развитии методов исследования вырождающихся уравнений на базе весовых пространств имела работа С. М. Никольского /II/. В этой работе были проведены исследования (начатые в заметке /12/) первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка. Была доказана теорема существования обобщенного решения, изучены дифференциальные свойства этого решения (в случае уравнения 2-го порядка). В последующих совместных работах П. Й. Лизоркина и С. М. Никольского /13/, /14/ эти исследования были продолженыв частности, была разработана методика позволяющая изучить коэрцитивные свойства решений вырождающихся эллиптических уравнений порядка 2HI (при YY> 1).

В настоящей диссертации часть посвященная приложениям к вырождающимся уравнениям представляет собой обобщение и дополнение результатов работ /II/ - /14/.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе I содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций, определенных в ограниченной области И — мерного евклидова пространства. Границу Г7 области Q считаем достаточно гладкой. Расстояние точки xeQ до Т7 обозначается символом §-Сх). Через (£ будем обозначать поле комплексных чисел. Пусть Ш — неотрицательное целое число, оС — действительное. Функция 1Л (х) по определению принадлежит классу f2c< (Q), если 1А (рс) G: «У нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка УИ, и конечна норма ftu 1Не Ф=ltW)i)a*[z.

1= Си/12з./ии) j Ц = ц+1г+.+ ч j 1.

В диссертации существенно используются следующие известные утверждения.

Утверждение I. Если.

— I ОС < 2 (I) a Sqнаименьшее натуральное число такое, что.

— i <Со<-Vn + S0< (2) то на функциях из (Й) определен оператор следа" .

Т: —* (1а|г действующий линейно и непрерывно из в И В, сг) к=о г ^ ;

Доказательство этого факта и определения классов БесоваВ>£, а также описание других свойств классов W2 ^(Q) можно найти в монографии С. М. Никольского /I/. Отметим, что если^{удовлетворяет} условию (I), можно рассматривать класс — подпространство функций из «W^t «-имеющих на Т7 нулевые следы до порядка.

Утверждение 2 С см./12/). Пусть оС и 90 определены в (I) и (2), кроме того и* (3) а ^ т (4).

Тогда существуют d: >0 «I ll^, такие, что.

О L.

U€Vlz,*(&) верно я. Q.

Далее, пусть? — целое число,? — действительное. Введем в рассмотрение классы. По определению.

IAGV2. (9) п? и^, если для нее конечна норма HUE Я если u о, то (я)]*, т. е. пространство «V*2.-f> (Q) определяется в этом случае как пространство, сопряженное к V^j-j^ С®-) • Основные свойства и структура этих классов (в более общей ситуации) изучены в /14/.

Скажем, что ^(Х} является в ограниченной области^ весовой функцией «дистанционного» типа, если.

1. CJ (3Z) определена измерима и положительна всюду в .

2. V компакта Ус я существуют положительные константы ACF). b (F) такие что.

Voc^T (6).

3. Существуют положительные числа S и С и функция $, зависящая только от расстояния до границы, такие что в приграничном слое «толщины» 8 :

Р8 = {v&Q /§(xUS выполнены неравенства.

О VxePs (7).

При этом естественно назвать? — «эквивалентом» веса.

Совокупность весовых функций «дистанционного» типа обозначим через.

Если <^(рО € G «то совокупность функций ИЗ Lp (Q) ср> I) обладающих обобщенными (по Соболеву) производными порядка t с конечной нормой р J.

М^^ * t^lD°UCx)0Pc (x]? (8) оС ^ ^^ обозначим символом «Vf^.

В диссертации получен следующий результат.

Г4 (2).

Теорема I. Пусть в области Ьс* с границей I & рассматриваются классы и Wp (kjC?), где.

CJ (X) и к (ОС) — весовые функции «дистанционного» типанатуральные числа такие, что Если существует система функций «дистанционного» типа такая что.

I. = j cjjm-e+ч =.

3. Эквиваленты <р< соответственно функций ^)•••) Б приграничном слое Р§связаны мезду собой соотношением к ! 2 I s0% П П ^ ^ (9) o.

Г 1 ^ - здесь р+ —, — 1.

Тогда имеет место непрерывное вложение.

Для классов результат о граничных значениях.

Теорема 2. Пусть VW и натуральные числа.

Г-Л «Т7 И (50-М).

А ^ о ^ W и пусть в области bat с границей рассматривается класс Если существует систеполучен. также следующий ма «дистанционных» весов такая что.

3. ^(X^Lptffi).

4. Эквиваленты -> •••-> соответственно функций.

§•1 5^ g ки-sн в пРигРаничном слое связаны между собой соотношением х }, S — L#.

0<�х<�о 0 х.

То на функциях класса.

Wp определен линейный оператор «следа».. I и I О ^ I действующий непрерывно из «Wp (In) в.

С, — I — !/¦— п в: p (d.

К-0 V.

Для описания решений первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения нами введено следующее пространство.

А ^.

Определение I. Пусть «Jf, инекоторые целые неотрицательные числаt = и^сос yu = 1МЛЛС (Oj^-G') .функция i (ot)e Vj?, C*№) если существует функция u3? (Q) и функция.

Ф Сос^ е (ffi) • такие что.

ОЛ = СО UI).

Норму в.

Wf" (Q) зададим следующим образом ««yp%> <*"} (12) где In-fLwu-kvi берется по всем представлениям функции •Ц (х^) вида (II).

В дальнейшем параметры оС и SQ удовлетворяющие (I) — И) будем для кратности называть регулярными.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема 3. Если параметры оС vl S0 — регулярные, то в пространстве норма (12) эквивалентна норме.

Т. +.

Используя теорию весовых пространств функций и, в частности, упомянутые выше результаты при р =2, в главах П и Ш изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения. В главе П изучаются вопросы существования и единственности обобщенного решения следующей краевой задачи.

Рассмотрим интегродифференциальную форму a^cx^Vcoc^DVcx^x (13) в предположений, что:

I. Коэффициенты Q ij (ос) измеримы в Q и lavjWUMi^ (ос) з xeQiu-i]i (14).

Доказывается, что если удовлетворяет условию (I), то форма (13) коэффициенты которой подчинены неравенствам (14), определена и непрерывна. в, W? эт.е.

Задача Г)0. Пусть о (и ?>0- регулярные параметры.

О уу.

В классе д] (SO ищется функция ЛЛ. (ос}, удовлетворяющая соотношению.

О yv a = Ve-eVIM (?>) сю где принадлежит пространству.

I I Hi I сопряженному к vi2 с* • Сшлволом 3' > обозначается отношение двойственности.

Iе. vh.

Замечание. При регулярных оС и S0 классы W2)0((52) и V (.52) совпадают с точностью до эквивалентности норм (см. /23/), поэтому в (15) можно считать |€" VZjo< Кроме того, в силу плотности С0 (52) в We*^ (52) можно требовать выполнения (15) на функциях tf (ос^ ?

Задача D 0 связана со следующей краевой задачей.

Amoc^Z (-if Ъа I о*>, ,.

Ц|>5уи J С16) to.

Именно, если Ц 1гс и Qij ed^CQ), yv, а решение ищется среди функций VZ (Q), обладающих производными до порядка 2 W из LГ?, то задача Dп совпадает с краевой задачей (16), (17). Если же (X l^^d'^C^} ^ CS) «то тогда говорят о краевой задаче, понимая уравнение (16) в смысле соотношения (15). При этом оператор, А понимается в обобщенном смысле как оператор, удовлетворяющий равенству.

Решение задачи D о называется обобщенным решением задачи (16), (17).

В диссертации получено следующее утверждение относительно решения задачи t}0 .

Теорема 4. Пусть параметры о (и^о — регулярные и форма (ХСЯ^ЯЯ «коэффициенты которой подчинены оценкам (14), удовлетворяет условию: существует постоянная 96 > О такая, что для любого набора комплексных чисел Ъ 'L (111= и для каждого ОС? ^ выполнено неравенство.

HelciLjCafllJi ^ §-сх) I^ <19>

И=щ=т lj=m.

Кроме того имеет место условие.

Е = .эб — 21 Мц (сцс^ >о.

20) где dt — константы из неравенств (5), М ц — константы из условий (14), тогда оператор, А определяемый соотношением.

18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом.

Далее рассматривается неоднородная краевая задача. Параметры о (и S о считаются регулярными.

Задача ]l). В классе W 2, о () найти функцию 1Л (ос} которая при заданном ^ (52} и заданных граничных функциях ц — k = or—- S0−4 о<- К — 1².

Ц>к€ &2 СГ) удовлетворяет соотношению а (г", 1>) = V О-еСГСй) и краевым условиям iVCcO,.,^ (2D.

При рассмотрении этой задачи на коэффициенты формы приходится налагать более жесткие требования: i. и 8:+C*-VH+UI i UU^ JjUm (23) где)^{i-iвещественные} положительные константы.

Аналогично случаю однородных краевых условий задачу «D можно интерпретировать как первую краевую задачу для уравнения, А — -fс краевыми условиями (21), где Аоператор задаваемый соотношением.

W (22) а (1л, и) = <> 7(Я).

Определим оператор Р = (A jT) — оператор задачи Ь. Каждой функции 1л (ос} ^ WJT^) поставим в соответствие «пару» (At* jT’M) или, учитывая определение оператора Т* (см. утверждение I) вектор-функцию с 60-Н ком.

Учитывая линейность и непрерывность операторов Д и Т в соответствующих пространствах, получим линейный непрерывный оператор

I ^.

Е'=(А, Т): W™ (о.) (Q) * П.

Справедлив следующий результат.

Теорема 5. Пусть коэффициенты формы (2 удовлетворяют условиям (22), (23) — кроме того, пусть выполнены условия.

НеL OiiWlJi ^E'^X.ISJ2- Ic?

Е — 2- Сс^сл*lU+ljUlwiH J * llU^o-4.

— H Mf, (JL?)* >o (25).

Тогда оператор P есть алгебраический и топологический изоморфизм г: VI^CQ) — yjvp.

Глава Ш посвящена исследованию коэрцитивных свойств обобщенного решения аналога первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Вначале доказывается следующая теорема для случая однородных краевых условий.

Теорема 6. Пусть ^ 0 — целое число, а форма a (l/t, t>) удовлетворяет следующим требованиям:

1. коэффициенты её суть измеримые функции для которых верно (14);

2. когда таковы, что i-W .Ijl^W-'Jf > то.

3. при таких что U-Vvi, a Hi — «Jf-v, А? 1 j | $ Ил и vt: ftUljl-VM+Y выполнено М Lj) М lj' - некоторые положительные константы).

4. выполнены условия (19), (20).

Тогда оператор Д, определенный соотношением (18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом.

А ^ (Q).

В случае неоднородных краевых условий доказана следующая теорема о повышении гладкости.

Теорема 7. Пусть форма 01 C^S^) удовлетворяет условиям.

1. коэффициенты fl (j (ос) подчинены оценкам (22),(23).

2. при некотором целом неотрицательном? выполнены требования: коэффициенты 01, соответствующие мультииндексам III = ^ «» непрерывно дифференцируемы и справедливы оценки.

1тч I > кл1.

Шк^Соо!^ (РО • xeS^rV-^) а коэффициенты соответствующие мультииндексам (l^jj Hl^VH ,.

Ijl? Vn непрерывно дифференцируемы Sраз и для любого мультииндекса t: |t ^ (jl-M + <} верны неравенства * // 2 (о (- и*) -И il + IjlItl iDaijwUn^ да .

I гчТ I ьл11 ft-+o (-Wi4liMtl .

I D aij c^l ^ Иц.

3. Выполнены условия (24), (25).

Тогда оператор Р осуществляет алгебраический и топологический изоморфизм.

Р=(А-Т): V* т СП (26) к-о.

Перечисленные результаты обобщают и дополняют исследования /II/ - /14/ в следующих направлениях. Во-первых, за счет использования метода билинейных форм удалось освободиться от условия симметричности коэффициентов ft ^ j (ОС.). Более того, этот метод позволяет рассматривать уравнения с комплекснозначными коэффициентами. При этом несколько конкретизируются требования к форме С см.(19), (, 20)). Во-вторых, на основании локальных оценок из /6/, в теоремах о повышении гладкости ослаблены требования к коэффициентам уравнения. Наконец неоднородная краевая задача изучена для более общих уравнений.

В работах /II/ - /14/ не изучался вопрос о зависимости гладкости решения от гладкости граничных условий. В диссертации введено пространство и доказан изоморфизм (26).

Замечание. Мы будем иногда писать а" е> вместо.

A 4db. где положительная константа С не зависит от В.

Основные результаты диссертации содержатся в статьях /35/ - /37/. Ути результаты докладывались в МИ АН СССР на семнаре по теории функций под руководством С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева, на семинаре по уравнениям в частных производных под руководством А. В. Бицадзе, в институте Математики и Механики КазССР на семинаре по прикладным методам анализа, в Каз1У на семинаре по функциональному анализу под руководством М. О. Отелбаева, в Казахском политехническом институте на научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук профессору П. И. Лизоркину за постановку задачи и постоянное внимание проявляемое к работе.

1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977, 455 с.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

3. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974, 808 с.

4. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980,664 с.

5. Лионе Ж., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложений. М.:Мир, 1971, 371 с.

6. Qcjn/ton S. cCedtute? cm eilv. pU<31p.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

8. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

9. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. Изд. АН СССР, 1959.

10. Лизоркин П. И., Никольский С. М. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задач с сильным вырождением на границе. ДАН СССР, 1964, 159, № 3, с.512- 515.

11. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод. -Труды МИ АН СССР, 1981, 157, с.90−118.

12. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью. Труды МИ АН СССР, 1983, 161, с. 157−183.

13. Бесов О. В., Ильин В. П., Кудрявцев Л. Д., Лизоркин П. И., Никольский С. М. Теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М., 1970, с.38−63.

14. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений. Труды МИАН СССР, 1959, 55, C. I-I8I.

15. Кудрявцев Л. Д. О полиноминальных следах и о модулях гладкости функций многих переменных. Труды МИ АН СССР, 1972, 117, с.180−211.

16. МирошгаьН.В. Первая краевая задача для эллиптическихоператоров, вырождающихся на границе области. ДАН СССР, 1976, 230, }& 2, с.275−278.

17. Миропшя Н. В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства. Диф. урав-нения, 1976, 12, & 6.

18. Лизоркин П. И. Граничные значения функций из весовых классов. ДАН СССР, I960, 132, Л 3, с.514−517.

19. Вашарин А"А. Граничные свойства функций класса.