Анализ следящей системы автоматического регулирования на постоянном токе

2. Проверка устойчивости системы. Определение области устойчивости по коэффициенту усиления разомкнутой системы

Правило составления матрицы Гурвица. Это (n*n) матрица, записываемая следующим образом.

• 1. Первая строка составляется из коэффициентов с нечетными индексами, вторая строка — из коэффициентов с четными индексами. Третья пятая и последующие нечетные строки повторяют первую со смещением вправо на один, два, три и т. д. столбца. Аналогичным смещением второй строки формируются четные строки.
• 2. На главной диагонали матрицы записываются коэффициенты b1, b2, …bn и затем, начиная от диагонального элемента, формируются столбцы: внизу записываются последовательно коэффициенты с убывающими индексами, а вверху — коэффициенты с возрастающими индексами. При выходе за пределы имеющихся крайних коэффициентов b0, bn, соответствующие места заполняются нулями.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом:

Для того, чтобы система с характеристическим уравнением была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Гурвица (определитель Гурвица) и диагональные миноры этой матрицы были положительны, т. е. чтобы.

Частным случаем критерия Гурвица является критерий Вышнеградского для системы 3-его порядка. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид Необходимое и достаточное условие устойчивости для этого случая имеет вид.

где.

передаточная функция разомкнутой системы.

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид.

Или.

При K>0, T1>0, T2>0 условие положительности коэффициентов уравнения выполняются. Составим определитель Гурвица.

.

Легко видеть, что условие устойчивости принимает вид.

откуда следует неравенство.

(10).

Условие (10) определяет ограничения, накладываемые на параметры системы. Из него видно, что множество возможных значений коэффициента передачи разомкнутой системы K ограничено сверху значением. Увеличение K сверх этого значения приводит к неустойчивости системы. Из неравенства (10) видно также, что увеличение постоянных времени ухудшает устойчивость системы, при этом предельное значение коэффициента передачи K уменьшается.

Построим ЛАФЧХ разомкнутой системы.

Рис. 3.

На частоте среза фаза. Система является устойчивой. Запасы устойчивости:

по фазе по амплитуде.

Построим ЛАФЧХ разомкнутой системы:

— амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы (АЧХ).

— фазо-частотная характеристика разомкнутой системы (ФЧХ).

— логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы (ЛАЧХ).

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид.

где. Характеристическое уравнение имеет вид.

.

Выполнив подстановку и полагая, получим соотношения.

.

задающие Д-кривую на плоскости Д.

Рис. 4.

Эта кривая выделяет на плоскости Д 3 области. Областью устойчивости может быть только область 3, она ей и является — это можно непосредственно проверить. Таким образом, области 3 соответствует 3 левых корня характеристического уравнения, области 2−2 таких корня и области 1 — 1 такой корень. При ситуация, когда все корни характеристического уравнения расположены в правой полуплоскости плоскости «p» невозможна — такой области нет в области Д-разбиения. Это легко показать и непосредственным анализом характеристического уравнения.

При действительных значениях коэффициента K получаем ту же область устойчивости замкнутой системы, что и при исследовании на устойчивость при помощи критерия Гурвица.

3. Точность системы в установившемся режиме. Зависимость точности системы от коэффициента передачи. Построение переходных процессов и определение показателей качества

Рассмотрим теперь точность системы в типовых режимах. Пусть кроме управляющего к системе прикладывают возмущающее воздействие g (t). Структурная схема САУ имеет вид:

Рис. 5.

Рис. 6.

.

.

.

.

Ошибка e (t) определяется выражением.

.

Имеем из структурной схемы.

.

Ошибка при ступенчатом входном воздействии Пусть. Тогда.

.

где.

передаточная функция разомкнутой системы. По теореме о предельном переходе имеем:

где ,.

e1 — составляющая ошибки, определяемая Задающим воздействием f (t),.

e2 — составляющая ошибки, определяемая возмущающим воздействием.

Рассмотрим составляющую e1:

Передаточная функция W (p) имеет астатизм, т. е. содержит интегрирующие звенья, то W (0)=? и е1 =0 ,.

т. е. в астатических системах ошибка, определяемая постоянным задающим воздействием, отсутствует.

Рассмотрим составляющую е2:

Здесь — момент нагрузки.

Из полученного выражения видно, что при возрастании К1 величина уменьшается.

Ошибка при движении с постоянной скоростью.

Пусть задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью.

f=vt, v=const.

Возмущающее воздействие постоянно. В этом случае.

(11).

Из (11) видно, что величина составляющей е1 установившейся ошибки пропорциональна скорости изменения задающего воздействия и обратного пропорциональна коэффициенту передачи разомкнутой системы по скорости К.

Ошибка при гармоническом задающем воздействии Этот режим движения рассматривается часто, т.к. он позволяет достаточно полно оценить динамические свойства САУ. Задающее воздействие имеет вид.

f (t)=A sint.

Возмущающее воздействие рассматривать не будем (если оно постоянное, то все сказанное выше относительно составляющей е2 полностью переноситься на этот случай. Рассмотрим составляющую ошибки, определяемую наличием задающего воздействия. Имеем.

В линейной системе при гармоническом входном сигнале ошибка изменяется по гармоническому закону, т. е.

Точность САУ может быть оценена по амплитуде ошибки Ае; определяемой выражением.

Обычно Ае много меньше амплитуды задающего воздействия А, т. е. — большая величина. Тогда.

(12).

Зависимостью (12) определяем амплитуду сигнала ошибки при гармоническом входном сигнале Построение процесса регулирования.

Для определения установившейся ошибки, характеризующей точность системы не нужно строить весь процесс регулирования. Однако обычно кроме точности проектировщика интересует и вид процесса регулирования (колебательный или апериодический) и такие показатели, как перерегулирование и время перерегулирования. Эти показатели можно определить, только построив график всего процесса (- управляемая величина).

Здесь — входной сигнал, — выходной сигнал, — передаточная функция САУ (безразлично, замкнутой или разомкнутой).

К такой рабочей схеме может быть сведена любая задача определения процесса регулирования в линейной системе.

Передаточной функции ?(p) соответствует дифференциальное уравнение.

(14).

Рассмотрим аналитические способы построения процесса регулирования. В общем случае построение процесса регулирования сводится к решению дифференциального уравнения (14). При нулевых начальных условиях справа, когда.

от уравнения (91) можно перейти к уравнению в изображениях после чего.

Построение процесса регулирования при ступенчатом входном воздействии.

Величина перерегулирования в данном случае:

Время регулирования в данном случае:

tр=2,8с.

Установившаяся ошибка равна 0.

Построение процесса регулирования при линейно-нарастающем входном сигнале.

Рис. 7.

Рис. 8.

Время регулирования в данном случае:

tр=3,1с.

Установившаяся ошибка равна 2,15.

Построение процесса регулирования при гармоническом задающем воздействии.