Аттракторы динамических систем

С понятием аттрактора, или притягивающего множества, мы фактически уже встречались в тексте выше. Если вернуться к теореме 3.1 (Пуанкаре — Бендикссона), то ясно, что фазовые траектории произвольной (нелинейной) системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка могут притягиваться либо к устойчивым особым точкам (включая особые точки на бесконечности, или экваторе сферы Пуанкаре^[1]), либо к устойчивым предельным циклам. Множества, притягивающие к себе траектории в фазовом пространстве, называются аттракторами системы, а множества, отталкивающие от себя траектории, — репеллерами. Отметим, что с первого взгляда в численном эксперименте аттрактор системы найти достаточно легко, а репеллер — нет. Это впечатление обманчиво, ибо при обращении знака независимой переменной репеллер и аттрактор меняются местами.

Теорема Пуанкаре — Бендикссона дает нам перечисление всех возможных аттракторов и репеллеров в двумерном фазовом пространстве. Возникает вопрос, что можно ожидать в пространствах более высокой размерности. Заметим, что с точки зрения физики (иод физикой мы понимаем здесь любую предметную область, где встретились обыкновенные дифференциальные уравнения) информация о структуре аттрактора не менее важна, чем для математика описание возможных типов бифуркаций систем, гак как она несет информацию об асимптотическом поведении решения. Естественно, в нелинейной системе может быть несколько различных аттракторов, а все фазовое пространство системы можно разбить на области притяжения различных аттракторов.

Пример 3.3 (модель свертывания крови) В литературе^{1 *} встречается система ОДУ, описывающая динамику образования основных метаболитов в реакции свертывания крови:

Особые точки рассматриваемой системы определяются корнями следующего полинома:

В системе всегда существует нулевая особая точка. Она устойчива при любых значениях параметров. Кроме того, у рассматриваемого полинома всегда есть один отрицательный корень. Соответственно, количество его положительных действительных корней, определяющих особые точки системы, может меняться в зависимости от параметров модели от нуля до двух.

Удобно рассматривать поведение системы при изменении параметра К₂, определяющего скорость наработки активатора, и параметра К₆, определяющего скорость инактивации ингибитора, поскольку от К₂ зависит только первое уравнение системы, от — только третье.

Построим бифуркационную диаграмму в диапазоне изменения параметра К_е от О до 0,2 при фиксированном значении К₂. Используемые в модели константы приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1