Введение. 
Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения возникают во многих областях прикладной математики, физики, механики, техники и т. д. С их помощью описываются практически любые задачи динамики машин и механизмов. Существует множество методов решения дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции. Однако, чаще всего эти методы либо вообще не применимы, либо приводят к столь сложным решениям, что легче и целесообразнее использовать приближенные численные методы. В огромном количестве задач дифференциальные уравнения содержат существенные нелинейности, а входящие в них функции и коэффициенты заданы в виде таблиц и/или экспериментальных данных, что фактически полностью исключает возможность использования классических методов для их решения и анализа.

Общие понятия

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида:

(1),.

где — независимая переменная; - искомая функция переменной;

— производные искомой функции; - известная функция своих аргументов. дифференциальный линейный уравнение переменное.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

• — уравнение первого порядка;
• — уравнение второго порядка;

— уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция, которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если — решение, то по определению.

(2).

Пример.

— решение, так как.

У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:

где С — произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра ©.

Можно показать, что уравнение n-ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

(3).

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая — никогда в нуль не обращается. Определение 6. Соотношение.

(4).

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример.

Рассмотрим уравнение:. Отсюда или. Поэтому, где С — произвольная постоянная.

— общий интеграл; - общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение. Его общее решение. Положим С=2, тогда — частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения:

1) 2).

Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.