Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Карагандинский Государственный университет им. Е. А. Букетова Математический факультет Касенова И.А.

Дипломная работа

Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Специальность: 50 109 — Математика.

Караганда 2008

Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский Государственный университет им. Е.А. Букетова

Математический факультет Кафедра методика преподавания математики и информатики Допущена к защите зав. кафедрой, к. н. п., доцент

____ K.T. Бертисканова

" ___" _______ 2008 г.

Дипломная работа

Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике Специальность 50 109 — Математика.

Студент Касенова И.А.

Научный руководитель:

Доцент КарГУ Григорьева Т.С.

Караганда 2008

• Введение
• Глава 1. Межпредметные связи в учебном процессе математики
• 1.1 Межпредметность — современный принцип обучения
• 1.2 Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла
• 1.3 Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики
• Глава 2. Методика реализации внутрипредметных связей
• 2.1 Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях
• 2.2 Методика реализации внутрии межпонятийных связей
• 2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач
• 2.4 О взаимосвязях алгебры с геометрией
• Глава 3. Некоторые пути реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания
• 3.1 Обобщающее повторение как средство реализации внутрипредметных связей
• 3.2 Сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей
• 3.3 Самостоятельная работа учащихся
• Опытная работа
• Заключение
• Список использованной литературы
• Приложение1

На сегодняшний день нужны такие программы и учебники по математике, которые позволили бы эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углубленном уровнях. Это возможно за счёт реализации в учебных курсах различной степени полноты межпредметных и внутрипредметных связей. Усиление межпредметных и внутрипредметных связей следует рассматривать как одно из важнейших направлений дидактического совершенствования школьного курса математики.

Учет межпредметных и внутрипредметных связей при обучении способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности, переносу знаний, полученных на более низких ступенях обучения, на более высокие ступени.

Дадим определение межпредметным и внутрипредметным связям. Связь — это взаимообусловленность существования явлений, разделённых в пространстве и (или) во времени.

Межпредметные связи играют существенную роль в обеспечении единства обучения и воспитания. Они выступают как средство усиления этого единства комплексного подхода к обучению. Совокупность функций межпредметных связей реализуется в процессе обучения тогда, когда учитель математики осуществляет все их многообразие. [10]

Внутрипредметные связи математики — это взаимосвязь и взаимообусловленность математических понятий, разделённых временем их изучения. Учёт внутрипредметных связей означает целесообразную организацию изучения взаимосвязанных понятий на определённых этапах изучения.

Внутрипредметные связи характеризуются двумя основными направлениями в осуществлении: первое направление — это направление от исходных понятий к конечным (назовём связи в этом направлении преемственными); второе направление — это направление от конечных понятий к тем начальным понятиям, через которые реализуются конечные: активное влияние конечных понятий, идей, методов на исходные понятия, идеи, методы (для удобства назовём эти связи рекурсивными). Внутрипредметные связи — объединение преемственных и рекурсивных связей, дополненное взаимосвязями между главными линиями и идеями развития данной науки.

Роль внутрипредметных связей в учебном курсе велика, они непосредственно влияют на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. При этом внутрипредметные связи формируют у учащихся научное мировоззрение, помогают видеть мир в движении и развитии, способствуют установлению логических связей между понятиями, тем самым развивают логическое мышление учащихся, выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях школьников, позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстаёт перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки школьников. 7]

Цель: теоретическое обоснование и практическое подтверждение целесообразности использования межпредметных и внутрипредметных связей для повышения уровня знаний учащихся по математики.

Объект исследования: учебный процесс в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования: методические вопросы использования межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.

Гипотеза: если в процессе обучения математики применять медпрежметные и внутрипредметные связи, то это будет способствовать сознательному усвоению знаний учащихся по связанным предметам и повышению качества их подготовки к этим предметам.

Задачи исследования:

Раскрыть сущность межпредметных и внутрипредметных связей Выявить темы школьного курса математики, в которых межпредметные и внутрипредметные связи наиболее полно реализуются.

Составить задания, решение которых основано на применении межпредметных и внутрипредметных связей.

4. Опытным путём проверить эффективность использования межпредметных и внутрипредметных связей.

5. Подготовить методические рекомендации.

Методы исследования:

Изучение научно-методической литературы по рассматриваемой теме.

Анализ содержания школьных учебников, учебных программ по математике и физике.

Наблюдение за деятельностью учителя и учащихся на уроках математики и физики.

Практическая значимость: состоит в том, что разработанная методика использования межпредметных связей при обучении математике может быть использована студентами в период прохождения педагогической практики, а также учителями школ в их практической деятельности.

На основе результатов исследования подготовлены методические рекомендации по применению межпредментых и внутрипредметных связей в курсе математики.

На защиту выносятся: обоснование необходимости применения межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.

Цель и задачи определили структуру дипломной работы. Дипломная работа состоит из трёх глав, опытной работы и приложения.

Первая глава называется «Межпредметные связи в учебном процессе математики». В ней рассмотрен следующий материал: межпредметность — современный принцип обучения; взаимосвязь предметов естественно — математического цикла; методы осуществления межпредметной связи на уроках математики. Вторая глава «Методика реализации внутрипредметных связей». Она включает в себя: роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях; методика реализации внутрии межпонятийных связях; взаимосвязь алгебры и начала анализа с геометрией. Третья глава «Некоторые вопросы реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания». В этой главе содержится следующее: обобщающее повторении как средство реализации внутрипредметных связей, сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей, самостоятельная работа учащихся. Затем следует опытная работа и приложение.

Глава 1. Межпредметные связи в учебном процессе математики

1.1 Межпредметность — современный принцип обучения

Воспитание и обучение обусловливают качественную характеристику образования — результаты педагогического процесса, отражающие степень реализации целей образования. Результаты образования определяются степенью присвоения ценностей, рождающихся в педагогическом процессе, которые так важны для экономического, нравственного, интеллектуального состояния всех «потребителей» продукции образовательной сферы — и государства, и общества, и каждого человека. В свою очередь, результаты образования как педагогического процесса связаны со стратегиями развития образования, ориентированными на перспективу.

Задача обучения математике в образовательной средней школе — обеспечить прочное и социальное овладение учащимися математическими знаниями и навыками, нужными в повседневной жизни, достаточными для изучения других наук, для продолжения образования.

Обучение математике должно способствовать формированию у учащихся правильных представлений о природе математике, сущности и специфике ее методов, о месте математике в системе наук и ее роли в науке.

Велико значение изучения математики для общего развития учащихся, формирования у них навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения, творческого мышления.

В силу чрезвычайной общности отражения реального мира математика находит широкое применение в практике и в этом смысле по своей природе является политехнической наукой. Политехническая направленность курса математики обеспечивает содержанием программы, характером изложения учебного материала и содержанием упражнений, реализацией межпредметных связей.

Межпредметные связи при их систематическом и целенаправленном осуществлении перестраивают весь процесс обучения, т. е. выступают как современный дидактический принцип. 10]

Принцип обучения — это исходное руководящее требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса, вытекающее из его закономерностей направленное на решение актуальных социальных задач школы.

Принцип межпредметных связей, позволяет всесторонне раскрыть многоаспектные объекты учебного познания и комплексные проблемы современности. Принцип межпредметных связей как обязательное требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса и познавательной деятельности учащихся способствует

— формированию системности знаний на основе развития ведущих общенаучных идей и понятий (образовательная функция межпредметных связей);

— развитию системного и диалектического мышления, гибкости и самостоятельности ума, познавательной активности и интересов учащихся (развивающая функция межпредметных связей);

— формированию политехнических знаний и умений (воспитывающая функция межпредметных связей);

— координации в работе учителей различных предметов, их сотрудничеству, выработке единых педагогических требований в коллективе, единой трактовке общенаучных понятий, согласованности в проведении комплексных форм организации учебно-воспитательного процесса (организационная функция межпредметных связей).

Принцип межпредметности способствует реализации каждого из других принципов обучения так же, как все эти принципы создают дидактические основы для планомерного осуществления межпредметных связей. Взаимосвязь принципов обучения с принципом межпредметности представлена на рисунке 1. 10]

Взаимосвязь принципа межпредметности с другими принципами обучения

Рис.1

Обучение в современной школе реализуется как целостный учебно-воспитательный процесс, имеющий общую структуру и функции, которые отражают взаимодействие преподавания и учения. Функция обучения — это качественная характеристика учебно-воспитательного процесса, в которой выражена его целенаправленность и результативность в формировании личности ученика. Межпредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.

В дидактической системе, построенной на основе принципа межпредметности, перестраиваются все этапы (звенья) деятельности учителя и учащихся. Обучающая деятельность учителя и учебно-познавательная деятельность учащихся имеют общую процессуальную структуру цель — мотив — содержание — средства — результат — контроль. Однако содержание этих звеньев различно в деятельности учителя, имеющей руководящий характер, и в деятельности учащихся, имеющей управляемый характер. Под влиянием межпредметных связей содержание этих звеньев и способы их реализации приобретают специфику (см. рис. 2).

Межпредметные связи позволяют вычленить главные элементы содержания образования, предусмотреть развитие системообразующих идей, понятий, общенаучных приемов учебной деятельности, возможности комплексного применения знаний из различных предметов в трудовой деятельности учащихся. 7]

Можно отметить следующие развивающие возможности урока с применением межпредметных связей:

Во-первых, он позволяет реализовать один из важнейших принципов дидактики — принцип системности обучения (если комплекс учебного материала отвечает целостности, структурности, взаимозависимости, иерархичности, множественности).

Во-вторых, создает оптимальные условия, для развития мышления (способность к абстракции, умения выделять главное, проводить аналогии, осуществлять анализ, сопоставление, обобщение и т. д.), тем самым, развивая логичность, гибкость, критичность.

В-третьих, способствует развитию системного мировоззрения, гармонизации личности учащихся.

Также межпредметные связи выполняют в обучении математики ряд функций. К ним относятся образовательная, развивающая, воспитывающая и конструктивная.

Образовательная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель математики и формирует такие качества знаний учащихся, как системность, глубина, осознанность, гибкость. Межпредметные связи выступают как средство развития математических понятий, способствуют усвоению связей между ними и общими понятиями.

Развивающая функция межпредметных связей определяется их ролью в развитии системного и творческого мышления учащихся, в формировании их познавательной активности, самостоятельности и интереса к познанию математики. Межпредметные связи помогают преодолеть предметную инертность мышления и расширяют кругозор учащихся.

Воспитывающая функция межпредметных связей выражена в их содействии всем направлениям воспитания школьников в обучении математики Учитель математики, опираясь на связи с другими предметами, реализует комплексный подход к воспитанию.

Конструктивная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель совершенствует содержание учебного материала, методы и формы организации обучения. Реализация межпредметных связей требует совместного планирования учителями предметов естественнонаучного цикла комплексных форм учебной и внеклассной работы, которые предполагают знания ими учебников и программ смежных предметов. 10]

Содержание, объем, время и способы и использования знаний из других предметов можно определить только на основе планирования. Для этого необходимо тщательное изучение рекомендаций, данных учебными программами в разделах «Межпредметные связи» по каждой учебной теме курса, а также изучение учебных планов и материала учебников смежных предметов.

1.2 Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла

Предметы естественно-математического цикла дают учащимся знания о живой и неживой природе, о материальном единстве мира, о природных ресурсах и их использовании в хозяйственной деятельности человека. Общие учебно-воспитательные задачи этих предметов направлены на формирование диалектико-материалистического мировоззрения, атеистических убеждений, политехнических знаний и умений учащихся, всестороннее гармоническое развитие личности. На основе изучения общих законов развития природы, особенностей отдельных форм движения материи и их взаимосвязей учителя формируют у учащихся современные представления о естественнонаучной картине мира. Эти общие задачи успешно решаются в процессе осуществления межпредметных связей, в согласованной работе учителей.

Изучение всех предметов естественнонаучного цикла взаимосвязано с математикой (рис. 2). Математика дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (физики, химии, черчения, трудового обучения и др.). 2]

Основные взаимосвязи предметов естественно-математического цикла

Рис. 2.

Для начала рассмотрим связь математики и химии. Начиная с 5-х классов ребята в математике сталкиваются с такими задачами, где присутствуют элементы химии. А когда ребята начинают изучать химию, то здесь наблюдается тесная взаимосвязь этих двух предметов. Особенно яркие примеры учащимся представлены в неорганической химии.

Пример. Сплав двух металлов олова и цинка 25 кг. Пусть вес олова и цинка в составе соответственно 10 и 15 кг. Каков процент содержание олова и цинка в сплаве?

Под процентным содержание олова и цинка понимается часть, которую составляет вес олова и цинка от веса сплава. Так как вес сплава равен 25 кг, то олова составляет 10/25 = 0,4веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25 = 0,6веса сплава. Следует обратить внимание на то, что 0,4+0,6=1,0. Если найденные части выразить теперь в сотых долях частей, то получим значение этих частей выраженное в процентах 40% и 60%. Здесь необходимо опять подчеркнуть, что 40%+60% = 100%. 12]

На основе знаний по математике у учащихся формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Изучение математики опирается на преемственные связи с курсами познания мира, физической географии, трудового обучения. При этом раскрывает практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений и математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

Большой интерес учащихся вызывают задачи, связанные с литературой и историей. Особенно задачи в стихотворной форме, задачи-сказки, шарады, метаграммы. Они легко запоминаются и способствуют развитию интереса даже слабого, невнимательного ученика. Применение таких задач дает возможность привлечь внимание всех ребят.

Пример 1. Шли два отца и два сына, Нашли три апельсина стали делить Всем по одному досталось Как это могло быть?

(ответ: дед, сын, внук) Пример 2. Что имеет 2 руки, 2 крыла, 2 хвоста, 3 головы, 3 туловища и 8 ног?

(ответ: всадник на коне с соколом в руке) [1]

Более всего связь математики видна с физикой. Хотя учащиеся 5−6 классов не изучают ещё физику, но в математике мы уже решаем физические задачи на движение.

Пример 1. Собственная скорость теплохода 23 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите:

а) скорость теплохода по течению;

б) скорость теплохода против течения Решение:

1 = 23 км/ч (скорость теплохода)

2 = 3 км/ч (скорость течения реки) а) = 23+3=26км/ч (по течению) б) = 23−3=20км/ч (против течения) [1]

Начиная с 7 класса, связь математики и физики проявляется чаще. Практически, усвоение физики без знания математики не возможно. Поэтому в курсе математики необходима система задач, которые готовят учащихся к применению математических знаний на уроках физики.

Пример 2. Чему равна сила тяжести, движущаяся на тело массой 2 кг?

Решение:

Р = mg

g = 10

P = 2 кг 10 = 20Н [12]

Пример 3. Определить давление нефти на дно цистерны, если высота столба нефти 10 м, а плотность ее 800кг/м3

Дано: Решение

h = 10 м =

[12]

-?

Важное место в этой системе занимают задачи, в которых от учащихся требуется применить свои знания о различных функциях.

Первая группа таких задач связана с необходимостью, уметь получить информацию о физическом процессе, исходя из его математической модели (формулы, графики). Для этого учащиеся должны уметь распознавать вид зависимости по её аналитическому выражению, сопоставить формулу и физическую ситуацию, в которой она рассматривается и, наконец, исследовать функцию по её формуле или графику.

Вторая группа задач связана с тем, что в курсе физики находят применение два основных вида функциональных математических моделей — формулы и графики. Поэтому учащиеся должны уметь находить параметры зависимости по её графику и сравнивать параметры функций по соответствующим графикам, определять неизвестный элемент одной из моделей, исходя из рассмотрения другой.

Процесс интеграции требует выполнения определенных условий:

— объекты исследования совпадают либо достаточно близки;

— в интегрируемых предметах используются одинаковые или близкие методы исследования;

— они строятся на общих закономерностях и теоретических концепциях.

Часто учитель проводит не один интегрированный урок, а 2−3 урока подряд, объединяя три и более предмета. Здесь можно говорить уже о новой форме организации учебного процесса — интегрированном блоке. 10]

Интегрированный блок может реализовываться и в течение целого дня, тогда возникает новая форма обучения — учебный день. Анализировать же интегрированный блок (дидактические цели, содержание, методические приемы) можно на том же уровне, что и урок (учитывая лишь разное количество времени), поэтому далее будем оговаривать только форму урока.

Проводятся практические, лабораторные, исследовательские и творческие работы, требующие комплексного применения знаний. Использование ЭВМ на уроках математики, жизненные явления, факты и их анализ при объяснении теоретического материала, исторический и занимательный материал (факты, биографии, сообщения, доклады).

При выборе методов и форм использования межпредметной связи учитываются возрастные особенности учащихся, уровень их знаний, изученный материал по другим дисциплинам данного класса. Так, например, использование компьютера и формирование умений и навыков работы с наиболее распространенными программами является важной задачей образования.

Компьютерные технологии помогают улучшить и разнообразить преподавание математики, формируют основы компьютерной инженерной графики, которая заменяет традиционные методы построения чертежей и графиков.

В средних классах используются задачи, которые помогают углубить знания учащихся по биологии, географии, физики. При решении задач осуществляются дифференцированный и индивидуальный подход. Таким образом, для реализации межпредметных связей учитель математики с учетом общешкольного плана учебно-методической работы должен разработать индивидуальный план реализации межпредметных связей в математических курсах. Методика творческой работы учителя включает ряд этапов:

1) изучение раздела «Межпредметные связи» по каждому математическому курсу и опорных тем из программ и учебников других предметов, чтение дополнительной научной, научно-популярной и методической литературы;

2) поурочное планирование межпредметных связей с использованием курсовых и тематических планов;

3) разработка средств и методических приемов реализации межпредметных связей на конкретных уроках;

4) разработка методики подготовки и проведения комплексных форм организации обучения;

5) разработка приемов контроля и оценки результатов осуществления межпредметных связей в обучении. 3]

Межпредметные связи в обучении рассматриваются как дидактический принцип и как условие, захватывая цели и задачи, содержание, методы, средства и формы обучения различным учебным предметам.

Решая задачи, учащиеся совершают сложные познавательные и расчетные действия:

1) осознание сущности межпредметной задачи, понимание необходимости применения знаний из других предметов;

2) отбор и актуализация (приведение в рабочее состояние) нужных знаний из других предметов;

3) их перенос в новую ситуацию, сопоставление знаний из смежных предметов;

4) синтез знаний, установление совместимости понятий, единиц измерения, расчетных действий, их выполнение;

5) получение результата, обобщение в выводах, закрепление понятий. 3]

Таким образом, систематическое использование межпредметных познавательных задач в форме проблемных вопросов, количественных задач, практических заданий обеспечивает формирование умений учащихся устанавливать и усваивать связи между знаниями из различных предметов. В этом заключена важнейшая развивающая функция обучения математики.

Межпредметные связи влияют на состав и структуру учебных предметов. Каждый учебный предмет является источником тех или иных видов межпредметных связей. Поэтому возможно выделить те связи, которые учитываются в содержании математики, и, наоборот, — идущие от математики в другие учебные предметы.

1.3 Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики

Усиление практической направленности обучения, его связи с трудом, с практикой требует от учителей всех предметов обратить особое внимание на формирование практических умений учащихся. Учитель в своей работе ориентируется на формирование обобщенных умений практической деятельности с помощью межпредметных связей. Такие умения соответствуют видам деятельности, общим для смежных предметов. Это умения расчетно-измерительной, вычислительной, графической, экспериментальной, конструкторской, прикладной и трудовой деятельности в предметах естественно-математического цикла. В предметах общественно-исторического цикла к практическим относятся умения речевой деятельности, умения работать с первоисточниками, художественные, умения, в которых слиты практические, познавательные и творческие действия. Практические умения характеризуют умения учащихся применять знания на практике, в ситуациях разной степени новизны и сложности. Общепредметные умения формируются на межпредметной основе, когда учителя различных предметов предъявляют к учащимся единые требования, исходя из общей структуры умений, последовательности выполняемых действий и этапов формирования и развития умений (показ образца действий, его осмысление, упражнение в его применении на материале разных предметов, закрепление при выполнении комплексных межпредметных заданий, в самостоятельных работах творческого характера).

Математика проникает во все области науки, важна её практическая направленность, обусловленная тем, что её предметом изучения являются фундаментальные структуры реального мира, пространственные формы и количественные отношения от простейших до самых сложных. [10]

Один из методов, который применяется на своих уроках с целью осуществления межпредметной связи, это метод целесообразных задач. Сущность его сводится к подбору одной или двух задач межпредметного содержания и использование их на уроке.

Например.

Из меди, цинка и латуни приготовили сплав массой 3,9 кг. В сплаве имеется 1,8 кг меди, а масса латуни в 2 раза больше массы цинка. Сколько имеется латуни в сплаве?[3]

Ц — х кг М — 1,8 кг 3,9 кг Л — 2х кг Решение:

х+2х+1,8=3,9

3х=3,9−1,8

х=0,7 кг (цинк)

2х=20,7=1,4 кг (латунь) Ответ: 1,4 кг латуни.

Следующий метод — эвристический. С помощью этого метода дается возможность учащимся самостоятельно делать выводы, формулировать вопрос, составлять задачи, используя знания других предметов.

Например.

Задание этого типа направлены на развитие у учеников способности к систематизации и упорядочению тех сведений, которые даются в условии. «Какой квадратик на рисунке 3 надо закрасить, чтобы изображенная фигура оказалась состоящей из двух одинаковых частей?

В результате обсуждения и уточнения ответов учеников можно прийти к выявлению тех представлений, которые лежат в основе понятия осевой симметрии.

Точки А1 и А2 называются симметричными относительно прямой, а (ось симметрии), если прямая, а проходит через середину отрезка А1А2 и перпендикулярна к этому отрезку.

Проблемно-поисковый. В данном случае ставится перед классом определенная проблема, которую можно разрешить, лишь используя межпредметную связь.

Так, задача может быть предложена не только для создания проблемной ситуации, но и для закрепления нового материала.

Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы у = рх2. Каким нужно сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавный? Длина моста l = 20 м, стрела провеса f = 0,5 м (рис. 4).

Указание. Направление подхода к мосту должно совпадать с направлением касательной к профилю моста на конце его. Задача сводится к нахождению углового коэффициента касательной к графику функции у = рх2 в точке х = 10. Значение р определяют из условия, что парабола проходит через точку с координатами (10; 0,5). Обозначим величину угла наклона касательной через. Тогда tg = у (10) = 0,1. [4]

Межпредметные проблемные вопросы служат различным целям в обучении. Это могут быть отдельные ситуативные вопросы, которые обобщают определенные понятия, изучаемые в разных предметах.

С помощью проблемных вопросов учитель может создать межпредметную проблемную ситуацию. Задания межпредметного характера побуждают учащихся к творческому подходу выбора решения.

Таким образом, межпредметные связи осуществляются не только в содержании, но и в методах обучения и закрепляются в умениях учащихся. 10]

Глава 2. Методика реализации внутрипредметных связей

2.1 Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определенных отношений к другим. Некоторые понятия вообще не могут существовать вне этих отношений. Так, например, понятия радиус, хорда, диаметр, вписанный угол и т. д. не мыслимы без соотнесения их с понятием окружности.

В учебном курсе понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют функцию подчиненную. Учитель должен уметь выделять общие, ведущие понятия курса. Ведущими понятиями будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям: они должны формировать научное мировоззрение; значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики; активно работать на протяжении большого промежутка времени; способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а, в конечном счете, и межпредметных; иметь прикладную и практическую направленность. Примерами таких ведущих понятий могут служить: число, величина, фигура, функция, график, уравнение, неравенство, равносильность, алгоритм и т. д.

Выделив ведущие понятия, учитель должен затем проследить их развитие во всем курсе школьной математики, тем самым определить его содержательно-методические линии, которые обеспечивают курсу необходимую систематичность и последовательность, отражают идейную сторону математики и являются важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала.

Перечислим основные содержательно-методические линии школьного курса алгебры: числовая, алгоритмическая, функциональная, линия уравнений и неравенств.

Реализация внутрипредметных связей вовсе не должна означать установление искусственных связей; наряду со связями, играющими положительную роль в процессе обучения, имеют место и связи отрицательного действия. Задача учителя — суметь в каждом конкретном случае отчленить одни связи от других и исключить связи отрицательного воздействия. Приведем примеры связей отрицательного действия.

1. Учащиеся, используя основное свойство дроби, ошибочно преобразуют дробь к следующему виду: или .

Ошибки получены в результате сокращения дроби не на множитель, как того требует основное свойство дроби, а на слагаемое.

2. При введении понятия иррационального числа многие учителя иллюстрируют это понятие лишь такими примерами:; - и т. д. Это приводит к тому, что затем на вопрос: «Приведите примеры иррациональных чисел» — учащиеся отвечают лишь подобными примерами, тем самым происходит сужение объема понятия иррационального числа. Этого не произошло, если бы народу с приведенными выше примерами учитель показал и иррациональное число 0,001 1… (используется связь с бесконечными непериодическими десятичными дробями). 7]

Значительная часть приведенных ошибок возникла в результате следующих причин. Это большая прочность ранее образованных связей по сравнению с позже возникающими; стремление учащихся к автоматическому применению теории без достаточного анализа возможности ее применения; доминирование ассоциативных связей над смысловыми, склонность действовать по стереотипу.

Отрицательные связи, устанавливаемые учениками, можно предвидеть и вести работу, которая могла бы их предотвратить. Так, например, большое число решенных задач по разложению на множители трехчленов вида x2+px + q не облегчает, а скорее затрудняет формирование навыка разложения на множители трехчленов вида ах2+bх+с (учащиеся записывают ошибочный ответ в виде (х — х1)(х — х2), опуская множитель а). Поэтому выполнение упражнений по разложению на множители трехчленов первого вида не должно быть длительным. Преподавание должно вестись по способу чередования разнотипных задач.

Одни и те же понятия могут быть определены на основе разных исходных посылок, различными способами. Все эти определения могут оказаться равноценными, но они будут иметь существенную разницу в достигнутых результатах обучения, в частности будет различной полнота внутрипредметных связей. Задача состоит в том, чтобы отыскать такой вариант, при котором эти результаты обучения будут наилучшими. Важно разъяснять учащимся реальный смысл понятий, показывать, отражением каких сторон действительности они являются.

Остановимся в связи с этим на теме «Действительные числа». Хотя данная тема служит основой изучения вопросов математического анализа, она, слабо усваивается учащимися. В первую очередь отметим, что школьники не видят связей между понятием действительного числа и понятиями математического анализа, изучаемыми в школьном курсе. Одна из причин — выведение понятия действительного числа из задачи об извлечении корня.

Это задача курса алгебры, а не математического анализа. Вопрос об извлечении корня не является главным в данном случае. Его целесообразно использовать лишь для мотивировки введения новых чисел — иррациональных.

Действительно, после того как будет доказано, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2, учащимся можно предложить задачу: «Постройте квадрат ABCD со стороной 1 и на диагонали АС этого квадрата постройте другой квадрат (рис.5). Чему равна площадь получившегося квадрата АСКМ?»

Так как SABCD = 1 ед.2, то SACD= ед.2.

Так как ACD = CDK= KDM= ADM, то Sackm = Sacd + ScDk + SKdm + + Sadm= =2 ед.2. Если сторону квадрата АСКМ (диагональ АС) обозначить через х, то получим х2=2. Но раз мы реально имеем квадрат площадью 2 ед.2, то должно существовать и число, квадрат которого равен 2.

Для математического анализа ведущим является расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, которое является непрерывным (вместе с этим решается вопрос и об извлечении корня из положительного числа). Главенствующее значение действительных чисел в курсе математического анализа как раз и состоит в том, что они способны выразить непрерывное изменение величины. (В случае доминанты задачи об извлечении корня этот вопрос остается скрытым.)

Таким образом, отработка понятия действительного числа и понятия непрерывной величины — это две стороны одного и того же процесса. Так как наглядной иллюстрацией непрерывного процесса служит движение точки по прямой, то в основе формирования понятия действительного числа должно быть, в первую очередь, понятие прямой, совокупность точек которой такова же по своей структуре, как и множество действительных чисел. Рассматривая так действительные числа, можно осуществить преемственность данной темы с такими вопросами анализа, как предел, непрерывность, производная, интеграл и т. д. [7]

Важным требованием к определению понятия является его согласование с естественно-интуитивным представлением о нем. Не может, например, считаться целесообразным определение целого числа через класс пар натуральных чисел, ибо оно не сформирует у учащихся тех умений и навыков, которыми они должны владеть для проведения числовых и алгебраических преобразований. Это же следует сказать и о таких определениях: определение натурального числа как класса эквивалентных множеств; определение рационального, числа как класса пар целых чисел; определение вектора как параллельного переноса; определение функции как множества пар с различными первыми компонентами. Несоответствие между интуитивным представлением о понятии вектора и его формальным определением можно преодолеть за счет введения понятия вектора через направленный отрезок, а функции через физический прототип — переменную величину. 3]

Введение

понятий в школьный курс должно строиться на основе разумного сочетания двух аспектов: исторического и логического.

2.2 Методика реализации внутрии межпонятийных связей

Реализация внутрипонятийных связей преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей — образование понятия. (По времени это один-два урока, на которых понятие вводится.)

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определенные связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Исходя из этого определения можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определенным зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

В понятии треугольник можно вычленить такие элементы, как стороны и углы. Между этими основными элементами треугольника существует целый ряд различных отношений: A+ B+C = 2d; если аb, то, А В; если AB, то и аb; а — b<�с; а+b>с и т. д. Учитывая, что этот список отношений большой, речь вовсе не идет о том, чтобы учащиеся усваивали все эти отношения, их количество прежде всего ограничено учебной программой. Для любого понятия может быть выделен минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов. Приведем несколько примеров. 7]

При изучении понятия координатная прямая учащиеся должны выделять существенные свойства этого понятия: а) координатная прямая — это прямая линия; б) координатная прямая — это прямая с выбранным на ней началом отсчета; в) координатная прямая — это прямая с выбранной на ней единицей измерения; г) координатная прямая — это прямая с выбранным на ней направлением.

После выделения существенных признаков учащимся предлагается работа по комбинированию этих признаков и определению на основе этих комбинаций соответствующих им объектов. Здесь, как и в предыдущем примере, идет работа над внутрипонятийными связями.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые и будут положены в основу обобщения.

Например, для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента k на свойства функции y = kx достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: «Постройте графики функций у=3х, у=х, у=х, у= —3х, у= —х, у=-x. Как влияет на их расположение значение k?»

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом k и свойствами функции y = kx. Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина k, знак коэффициента k.

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определенного вида и расположения. 7]

Ведь использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщенность между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу.

Приведем несколько примеров, подтверждающих сказанное.

1. Учащиеся при выполнении задания на распознавание фигур, например, к углу относили лишь фигуру, изображенную на рисунке 6б. Причиной послужило то, что учитель, формируя понятие угла, использовал лишь рисунки, подобные рисунку 6б, и школьники с бедными геометрическими представлениями попали «в плен» к наглядности.

2.Некоторые учащиеся к смежным углам отнесли лишь углы, изображенные на рисунке 7б.

3. Многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится «внизу» (рис. 8 б, в). Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак. 2]

Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием.

Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

1. Назовите все четырехугольники, изображенные на рисунке 9.

2. В какие фигуры входит отрезок АВ на рисунке 10?

3 Чем является отрезок КЕ на рисунке 11?

Радиус окружности равен 5 см (рис. 10).

Найдите длину отрезка АВ. Для решения задачи учащиеся должны увидеть радиус окружности в качестве диагонали ОК прямоугольника АКВО. Тогда на основе равенства диагоналей прямоугольника они получат, что АВ = 5 см.

Для того чтобы учащиеся понимали роль и назначение чертежа, умели читать и строить его по словесному заданию условия, целесообразно довести школьников до полного понимания роли чертежа в геометрии;

показать образцы чтения чертежей; добиваться того, чтобы учащиеся умели видеть в чертеже не только то, что бросается в глаза, но и все то, что содержится в нем; формировать у учащихся навыки в технике черчения; применять вариацию положения чертежа.

На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.

С этой целью учащимся младших классов можно предложить задачи такого содержания.

Могут ли одновременно, а и b удовлетворять условиям:

а) а больше b; а меньше b;

б) с больше b; произведение чисел, а и b равно нулю;

в) а делитель b; а меньше b;

г) а расположено на числовом луче правее b; а равно b;

д) а расположено на числовом луче левее b, а меньше bа = 2;

е) прямая, а параллельна прямой b; прямая b перпендикулярна прямой а?

Приведенные примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятий.

В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак. Приведем классификацию:

— понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);

— понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);

— понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);

— понятия, введенные ранее в «расплывчатом» виде, в дальнейшем получающие свое четкое определение (например, график, степень, равенство фигур).

При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретенными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их еще называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, рассмотрим термин функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.). Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденным оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия. 3]

При формировании понятия смежные углы опора на житейские прототипы (например, смежные комнаты, смежные приусадебные участки) позволяет исключить такую ошибку ученика, когда вместо выражения «смежные углы» используется следующий оборот: «смежным углом называется такой угол, у которого одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами».

Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих понятий невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.

Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению «родословной» каждого понятия.

При изучении понятий окружность, отрезок схемы «родословной» могут быть изображены так, как на рисунках 13,14.

Сравнивая эти схемы «родословной», учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение, дается сразу в завершенной, свернутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключения составляют те случаи, когда для распознавания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнен. Например, в такой форме дается определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида y = kx+b, где k и b — некоторые числа, называется линейной».

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность школьников. [3]

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

1. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Примеры:

а) Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон. (Указано понятие, которое для определяемого не является родовым.)

б) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой. (Указано не ближайшее родовое понятие.)

2. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Примеры:

а) Прямоугольником называется четырехугольник, диагонали которого равны. (Указано видовое отличие, которое не определяет понятие прямоугольник однозначно.)

б) Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным. (Не указан еще один существенный признак — вершина угла должна лежать на окружности.)

3. Ошибки, связанные с тавтологией.

Пример. Равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

4. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Примеры:

а) Простое число — это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу. (Пропущено слово «только».) б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. (Пропущено слово «две».)[2]

Задача учителя — вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

Каждая ошибка характеризуется содержанием и причинами возникновения. Содержание ошибки лежит на поверхности явления, а причина скрыта в глубине его.

Математические ошибки подразделяются на случайные и систематические (устойчивые). К случайным ошибкам относятся те, которые появляются однократно, несистематически у одного-двух учащихся класса. К устойчивым ошибкам относят либо те, которые появляются у одного и того же ученика (или нескольких) неоднократно, либо наблюдаются, хотя и однократно, но у многих учащихся.